[论文解读] Induced Invariant Finsler Metrics on Quotient Groups

Ebrahim Esrafilian, Hamid Reza Salimi Moghaddam|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文证明了，李群 $G$ 上的任意不变 Finsler 度量自然诱导出商群 $G/H$ 上的不变 Finsler 度量，其中 $H$ 是一个闭的正规李子群。该构造利用投影 $p: G \to G/H$，并通过 $\mathfrak{g}$ 中 $\mathfrak{h}$ 的右不变补空间将切向量从 $T_x(G/H)$ 提升至 $T_zG$，确保所诱导的度量 $\mathcal{F}$ 定义良好，并继承自 $F$ 的不变性。其主要贡献在于提出了一种通用且自然的提升方法，可在不假设李群 $G/H$ 为半单的前提下，将双不变或左/右不变的 Finsler 结构扩展到商空间。

ABSTRACT

In this paper we show that every invariant Finsler metric on Lie group $G$, induces an invariant Finsler metric on quotient group $G/H$ in the natural way, where $H$ is a closed normal Lie subgroup of $G$.

研究动机与目标

• 建立一种从原始李群 $G$ 上的不变 Finsler 度量自然诱导出商群 $G/H$ 上不变 Finsler 度量的方法。
• 将已知的关于齐性空间上不变 Riemann 度量的结果推广至更一般的 Finsler 几何框架。
• 消除先前研究中对 $G/H$ 为半单的假设，该假设在以往关于不变 Finsler 度量的研究中较为常见。
• 证明商群 $G/H$ 上的诱导度量 $\mathcal{F}$ 继承自 $G$ 上原始度量 $F$ 的左/右/双不变性。

提出的方法

• 在李代数 $\mathfrak{g}$（即 $G$ 的李代数）中为 $H$ 的李代数 $\mathfrak{h}$ 构造一个向量空间补 $V$，使得 $\mathfrak{g} = V \oplus \mathfrak{h}$。
• 利用自然投影 $p: G \to G/H$，通过微分 $T_zp$ 将切向量从 $T_x(G/H)$ 提升至 $T_zG$。
• 定义诱导的 Finsler 度量 $\mathcal{F}(X) = F(Z)$，其中 $Z \in V(z)$ 且 $T_zp(Z) = X$，确保该定义与 $zH$ 中代表元的选择无关。
• 利用 $F$ 的右不变性以及右平移保持补空间 $V$ 的事实，证明 $\mathcal{F}$ 定义良好。
• 证明 $\mathcal{F}$ 满足 Finsler 度量的公理：在切丛去掉原点的部分光滑，正齐次，且 Hessian 矩阵强严格凸。
• 证明 $\mathcal{F}$ 继承不变性：若 $F$ 在 $G$ 上为左/右/双不变，则 $\mathcal{F}$ 在 $G/H$ 上也相应地具有不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个李群 $G$ 上的不变 Finsler 度量都能自然地提升为闭正规子群 $H$ 的商群 $G/H$ 上的不变 Finsler 度量？
• RQ2 当 $G/H$ 不是半单时，$G/H$ 上诱导度量 $\mathcal{F}$ 的构造是否仍然定义良好？
• RQ3 在何种条件下，$G/H$ 上的诱导度量 $\mathcal{F}$ 会继承 $G$ 上原始度量 $F$ 的左/右/双不变性？
• RQ4 当 Finsler 几何中缺乏标准内积时，诱导的 Finsler 度量 $\mathcal{F}$ 与经典 Riemann 构造（基于正交性）之间有何关系？

主要发现

• 李群 $G$ 上的任意右不变 Finsler 度量 $F$ 通过 $\mathcal{F}(X) = F(Z)$ 自然诱导出 $G/H$ 上的定义良好且右不变的 Finsler 度量，其中 $Z$ 是 $X$ 沿 $H$-补子空间 $V$ 的提升。
• 由于 $F$ 的右不变性及投影 $p$ 的等变性，$\mathcal{F}$ 的定义与 $zH$ 中代表元 $z$ 的选择无关。
• 若 $F$ 在 $G$ 上为双不变，则 $G/H$ 上的诱导度量 $\mathcal{F}$ 在 $G$ 的自然作用下也保持双不变性。
• 该构造无需假设 $G/H$ 为半单，从而推广了以往依赖此类假设的研究结果。
• 该方法与经典 Riemann 构造兼容：当 $F$ 为 Riemann 度量时，诱导出的 $\mathcal{F}$ 与 $G/H$ 上标准的不变 Riemann 度量一致。
• 若 $\mathfrak{h}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的理想，则 $H$ 为闭的正规子群，且 $G/H$ 上的诱导度量 $\mathcal{F}$ 继承了 $F$ 的不变性类型。