[论文解读] Induced minors and well-quasi-ordering

B{\l}asiok, Jaros{\l}aw, Marcin Kamiński+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 24被引用 8

一句话总结

本文建立了在诱导极小关系下的良拟序（wqo）的二分定理：H-诱导极小图类是良拟序当且仅当H是宝石图（一个带支配顶点的P4）或bK4（在K4上添加一个度数为2的顶点）的诱导极小图。证明依赖于针对bK4和宝石图诱导极小图自由图的两个新颖分解定理，结合对无限反链的结构分析，将先前关于子图和诱导子图的结果扩展至诱导极小图情形。

ABSTRACT

A graph $H$ is an induced minor of a graph $G$ if it can be obtained from an induced subgraph of $G$ by contracting edges. Otherwise, $G$ is said to be $H$-induced minor-free. Robin Thomas showed that $K_4$-induced minor-free graphs are well-quasi-ordered by induced minors [Graphs without $K_4$ and well-quasi-ordering, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 38(3):240 -- 247, 1985]. We provide a dichotomy theorem for $H$-induced minor-free graphs and show that the class of $H$-induced minor-free graphs is well-quasi-ordered by the induced minor relation if and only if $H$ is an induced minor of the gem (the path on 4 vertices plus a dominating vertex) or of the graph obtained by adding a vertex of degree 2 to the complete graph on 4 vertices. To this end we proved two decomposition theorems which are of independent interest. Similar dichotomy results were previously given for subgraphs by Guoli Ding in [Subgraphs and well-quasi-ordering, Journal of Graph Theory, 16(5):489--502, 1992] and for induced subgraphs by Peter Damaschke in [Induced subgraphs and well-quasi-ordering, Journal of Graph Theory, 14(4):427--435, 1990].

研究动机与目标

• 确定对于哪些图H，H-诱导极小图自由图类在诱导极小关系下是良拟序的。
• 将Ding（1992）关于子图的先前二分结果与Damaschke（1990）关于诱导子图的结果，扩展至诱导极小图关系。
• 识别出在诱导极小图情形下分隔良拟序与非良拟序类的边界图。
• 提供bK4和宝石图诱导极小图自由图的结构分解，这些是证明良拟序性的核心。

提出的方法

• 提出了两个分解定理：一个用于bK4-诱导极小图自由的2-连通图，另一个用于宝石图-诱导极小图自由的2-连通图。
• 通过证明bK4-诱导极小图自由图属于有限多个结构类，且每一类在诱导极小关系下封闭，从而证明其为良拟序。
• 通过证明宝石图-诱导极小图自由图在删除至多六个顶点后变为cograph与路径的不相交并，从而证明其为良拟序。
• 使用具有良拟序标签的标记图类，构造保持诱导极小关系的单调函数。
• 通过分析无限反链，证明所有不与宝石图或bK4的诱导极小图同构的H，其图类均非良拟序。
• 应用Robertson-Seymour理论框架于诱导极小图，将图极小理论中的技术适配至诱导极小图情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些图H，H-诱导极小图自由图类在诱导极小关系下是良拟序的？
• RQ2 当H为bK4或宝石图时，避免H作为诱导极小图的图的结构特征是什么？
• RQ3 能否为诱导极小图自由图类建立一个完整的二分定理，类似于子图与诱导子图的情形？
• RQ4 在诱导极小图关系下，阻碍良拟序的最小图是什么？
• RQ5 bK4-和宝石图自由图的分解定理如何支持良拟序性质？

主要发现

• H-诱导极小图自由图类在诱导极小关系下是良拟序当且仅当H是宝石图或bK4的诱导极小图。
• 宝石图（P4加一个支配顶点）和bK4（在K4上添加一个度数为2的顶点）是唯一两个作为良拟序障碍的最小图。
• bK4-诱导极小图自由的2-连通图在结构上被刻画为：K4自由图、K4的细分图、K3,3或棱柱图，或可划分为一个小轮图与一个完全多部图的并。
• 宝石图-诱导极小图自由的2-连通图可通过删除至多六个顶点，使其成为cograph与路径的不相交并，从而借助闭包性质实现良拟序。
• 两类图良拟序性的证明依赖于一种新颖的标记与重标记技术，该技术在标记图构造中保持了诱导极小序。
• 本文建立了完整的二分定理，解决了Damaschke与Ding关于子图与诱导子图结果在诱导极小图情形下的类比问题。