[论文解读] Induced subgraphs and tree decompositions II. Toward walls and their line graphs in graphs of bounded degree

Tara Abrishami, Maria Chudnovsky+5 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2021

Advanced Graph Theory Research被引用 4

一句话总结

该论文证明，最大度有界的图若具有足够大的树宽，则其必然包含一个 $t$-theta、一个 $t$-pyramid，或一个 $k\times k$-墙的细分图的线图作为诱导子图。此外，该文进一步证明，对于任意次立方细分猫树 $T$，此类图必然包含 $T$ 的细分图或其细分图的线图作为诱导子图，从而确认了在高树宽的有界度图中存在结构普遍性。

ABSTRACT

This paper is motivated by the following question: what are the unavoidable induced subgraphs of graphs with large treewidth? Aboulker et al. made a conjecture which answers this question in graphs of bounded maximum degree, asserting that for all $k$ and $Δ$, every graph with maximum degree at most $Δ$ and sufficiently large treewidth contains either a subdivision of the $(k imes k)$-wall or the line graph of a subdivision of the $(k imes k)$-wall as an induced subgraph. We prove two theorems supporting this conjecture, as follows. 1. For $t\geq 2$, a $t$-theta is a graph consisting of two nonadjacent vertices and three internally disjoint paths between them, each of length at least $t$. A $t$-pyramid is a graph consisting of a vertex $v$, a triangle $B$ disjoint from $v$ and three paths starting at $v$ and disjoint otherwise, each joining $v$ to a vertex of $B$, and each of length at least $t$. We prove that for all $k,t$ and $Δ$, every graph with maximum degree at most $Δ$ and sufficiently large treewidth contains either a $t$-theta, or a $t$-pyramid, or the line graph of a subdivision of the $(k imes k)$-wall as an induced subgraph. This affirmatively answers a question of Pilipczuk et al. asking whether every graph of bounded maximum degree and sufficiently large treewidth contains either a theta or a triangle as an induced subgraph (where a theta means a $t$-theta for some $t\geq 2$). 2. A subcubic subdivided caterpillar is a tree of maximum degree at most three whose all vertices of degree three lie on a path. We prove that for every $Δ$ and subcubic subdivided caterpillar $T$, every graph with maximum degree at most $Δ$ and sufficiently large treewidth contains either a subdivision of $T$ or the line graph of a subdivision of $T$ as an induced subgraph.

研究动机与目标

• 确定有界最大度和大树宽图中不可避免的诱导子图。
• 解决 Aboulker 等人关于 $k\times k$-wall 或其线图是否必然作为诱导子图存在于此类图中的猜想。
• 扩展先前关于禁止诱导子图与树宽关系的研究，通过刻画有界度族中的结构普遍性。
• 证明对于任意次立方细分猫树 $T$，有界度且树宽足够大的图必然包含 $T$ 或其线图作为诱导子图。

提出的方法

• 引入 $t$-theta 和 $t$-pyramid 作为关键禁止子结构，通过三条内部不相交路径（每条长度至少为 $t$）定义。
• 采用基于 $(k,t)$-生物体的递归分解论证——特定配置涉及三条路径和一个中心顶点集合。
• 应用“强迫器”方法：构造 $S_{t_{i}+1,t_{i}+1,t_{i}+1}+H$ 作为 $S_{t_i,t_i+1,t_i+1}$-强迫器，以阻止某些配置。
• 对 $i$ 使用归纳法，以在避免 $(i,t_i)$-生物体及其墙细分图线图的图类中界定树宽。
• 利用网格定理和 Robertson-Seymour 理论，将树宽与诱导子图包含关系联系起来。
• 应用引理 6.5 表明，若图既不包含 $T$ 的细分图，也不包含其线图，则其树宽有界，从而暗示此类子图必然存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界最大度且树宽足够大的图是否必然包含 $t$-theta、$t$-pyramid 或 $k\times k$-墙的细分图的线图作为诱导子图？
• RQ2 是否每个有界度且树宽足够大的图都必然包含某个给定的次立方细分猫树 $T$ 的细分图，或其细分图的线图作为诱导子图？
• RQ3 若排除某些诱导子图（如 $t$-thetas 或墙细分图的线图），是否会导致树宽有界？
• RQ4 哪些结构配置（如 $(k,t)$-生物体）会阻碍有界度图中树宽的增大？
• RQ5 强迫器构造在证明遗传图类中树宽界限时起到何种作用？

主要发现

• 对所有 $k,t,\Delta$，任意最大度不超过 $\Delta$ 且树宽足够大的图，必然包含一个 $t$-theta、一个 $t$-pyramid，或一个 $(k\times k)$-墙的细分图的线图作为诱导子图。
• 该结果通过证明此类图必然包含一个 $t$-theta（即 $t\geq 2$ 时的 theta）或一个三角形作为诱导子图，从而证实了 Pilipczuk 等人的一个猜想。
• 对每个次立方细分猫树 $T$，任意最大度不超过 $\Delta$ 且树宽足够大的图，必然包含 $T$ 的细分图或其细分图的线图作为诱导子图。
• 避免同时包含 $T$ 的细分图及其线图的图类具有有界树宽，且该有界性统一依赖于 $\Delta$ 和 $T$。
• 通过递归归纳论证，可界定在避免 $(i,t_i)$-生物体及其墙细分图线图的图类中树宽的上界，其中使用序列 $t_i = t(1+\Delta)^{k-i}$。
• 该证明表明，若排除 $t$-thetas、$t$-pyramids 和墙细分图的线图，则即使在度数约束下，树宽也必有界。