[论文解读] Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. II. Three steps towards Gyarfas' conjectures

Maria Chudnovsky, Paul Seymour+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文在解决Gyárfás关于大色数但无大团或长奇圈洞的图的猜想方面取得进展。证明了不含长于ℓ的奇圈洞的三角形自由图的色数被ℓ的函数有界，并确立了五边形图（仅含5-圈作为奇圈洞）是58,000-可染色的。结果依赖于通过距离划分中的层级集进行结构分解，以及软糖豆引理，以在诱导子图中控制色数。

ABSTRACT

Gyarfas conjectured in 1985 that for all $k$, $l$, every graph with no clique of size more than $k$ and no odd hole of length more than $l$ has chromatic number bounded by a function of $k$ and $l$. We prove three weaker statements: (1) Every triangle-free graph with sufficiently large chromatic number has an odd hole of length different from five; (2) For all $l$, every triangle-free graph with sufficiently large chromatic number contains either a 5-hole or an odd hole of length more than $l$; (3) For all $k$, $l$, every graph with no clique of size more than $k$ and sufficiently large chromatic number contains either a 5-hole or a hole of length more than $l$.

研究动机与目标

• 证明Gyárfás猜想的较弱形式，即在团和奇圈洞大小受限的图中，色数有界。
• 确立不含长度超过ℓ的奇圈洞的三角形自由图的色数被ℓ的函数有界。
• 证明五边形图——即仅以5-圈作为诱导奇圈的图——是58,000-可染色的。
• 开发结构工具，如软糖豆引理和层级集分析，将色数问题简化为有界子结构。
• 在附加限制（如无5-圈洞）下证明猜想的特殊情况。

提出的方法

• 使用前期工作的定理变体，表明若一个三角形自由图具有大色数且无长奇圈洞，则其包含一个诱导子图，该子图具有一个中心顶点，其距离层级大多稳定，但有一个层级具有高色数。
• 应用软糖豆引理分析具有中心组件和路径状尾部的诱导子图，利用清洁性控制邻接结构。
• 从中心顶点出发使用距离划分，将图分解为层级集，分析每层的色数以控制整体色数。
• 对团数ω(G)使用归纳法，证明若所有团数较小的子图均可染色，则在给定约束下整个图也可染色。
• 应用关键引理，表明若每个顶点的邻域和二阶邻域的色数有界，则整个图的色数被ℓ和邻域有界值的函数有界。
• 证明在无5-圈洞且无长圈洞（≤ℓ）的条件下，色数有界于(2ℓ−2)^{2^{ω(G)−1}−1}，使用归纳染色和邻域结构分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个不含长度超过ℓ的奇圈洞的三角形自由图是否具有被ℓ的函数有界的色数？
• RQ2 五边形图（仅以5-圈作为奇圈洞）的色数是否可有界？若有，其界为何？
• RQ3 若无5-圈洞且无长圈洞（≤ℓ），是否意味着色数有界，且该界依赖于ℓ和团数？
• RQ4 能否通过从中心顶点出发的距离层级进行结构分解，将色数问题简化为有界子问题？
• RQ5 在无5-圈洞且无长度超过ℓ的圈的图中，色数的定量界为何？

主要发现

• 每个五边形图都是58,000-可染色的，为Gyárfás猜想在k=2且ℓ=5时的第一个开放情况提供了定量界。
• 对每个ℓ，每个具有足够大色数的三角形自由图要么包含一个5-圈洞，要么包含长度超过ℓ的奇圈洞。
• 每个不含长度超过ℓ的奇圈洞的三角形自由图的色数被ℓ的函数有界，前提是每个顶点的2-邻域色数有界。
• 若图无5-圈洞且无长度超过ℓ的圈，则其色数至多为(2ℓ−2)^{2^{ω(G)−1}−1}，该界与ℓ和团数相关，且为紧致界。
• 五边形图色数有界的证明依赖于：任何具有大色数的此类图均包含一个诱导子图，其中每个顶点的2-邻域色数至多为5。
• 本文确立了猜想1.2（无长圈洞）对无5-圈洞的三角形自由图成立，且猜想1.3（无长奇圈洞）在给定界下对无5-圈洞的三角形自由图也成立。