[论文解读] Induction and Co-induction in Sequent Calculus
本文提出 ${\rm Linc}^{-}$，一种通过证明论意义上的定义将归纳与共归纳推理整合进高阶抽象语法（HOAS）的自然演绎演算。它提供了首个针对共归纳定义的剪切消去过程，确保了逻辑的一致性，并支持对具有自由等式和内涵性语法操作的计算系统进行形式化推理。
Proof search has been used to specify a wide range of computation systems. In order to build a framework for reasoning about such specifications, we make use of a sequent calculus involving induction and co-induction. These proof principles are based on a proof theoretic (rather than set-theoretic) notion of definition. Definitions are akin to (stratified) logic programs, where the left and right rules for defined atoms allow one to view theories as "closed" or defining fixed points. The use of definitions makes it possible to reason intensionally about syntax, in particular enforcing free equality via unification. We add in a consistent way rules for pre and post fixed points, thus allowing the user to reason inductively and co-inductively about properties of computational system making full use of higher-order abstract syntax. Consistency is guaranteed via cut-elimination, where we give the first, to our knowledge, cut-elimination procedure in the presence of general inductive and co-inductive definitions.
研究动机与目标
- 为解决证明助手中 HOAS 编码与标准（共）归纳推理之间的不相容性。
- 为使用 HOAS 进行归纳与共归纳推理提供一个一致的框架。
- 通过在合一中强制实现自由等式，克服 HOAS 中的异质项问题与充分性丧失问题。
- 设计一种同时支持归纳与共归纳推理的逻辑系统，同时保持剪切消去与一致性。
- 在统一的证明论框架中，实现对元理论性质（如类型保持性与 bisimulation 同余性）的形式化。
提出的方法
- 采用类似分层逻辑程序的证明论意义上的定义来定义不动点。
- 引入预不动点用于归纳，后不动点用于共归纳，分别对应不变量与模拟关系。
- 对定义施加分层条件，以确保单调性，并保证最小与最大不动点的存在性。
- 在自然演绎演算框架中，将归纳与共归纳规则从不动点方程中推导而出。
- 通过在高阶项上进行合一，强制实现自由等式，从而支持 HOAS 构造子的可注入性、互异性和情况穷尽性。
- 将剪切消去作为一致性的证明，这是首个在自然演绎演算中针对共归纳定义的此类结果。
实验结果
研究问题
- RQ1如何在支持 HOAS 的高阶逻辑中一致地结合归纳与共归纳推理？
- RQ2不动点定义在不破坏一致性的情况下，如何同时支持归纳与共归纳推理？
- RQ3能否在包含一般共归纳定义的自然演绎演算中建立剪切消去？
- RQ4如何在不引入异质项或丧失内涵性控制的前提下，使 HOAS 编码达到完全充分性？
- RQ5循环证明与所提出的（共）归纳推理的剪切消去框架之间存在何种关系？
主要发现
- ${\rm Linc}^{-}$ 是 $FO\lambda^{\Delta{\rm I}\!{\rm N}}$ 的保守扩展，并推广了 Martin-L\
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