[论文解读] Inequalities for algebraic Casorati curvatures and their applications

Mukut Mani Tripathi|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 31被引用 16

一句话总结

本文在一般的黎曼几何设定下引入了代数Casorati曲率，并利用约束极值技术建立了这些曲率的基本Casorati不等式。主要贡献在于为实空间形式中的黎曼子流形推导出精确的Casorati不等式，且等式成立的条件被刻画为具有平凡法丛联络的不变拟脐形子流形。

ABSTRACT

The notion of different kind of algebraic Casorati curvatures are introduced. Some results expressing basic Casorati inequalities for algebraic Casorati curvatures are presented. Equality cases are also discussed. As a simple application, basic Casorati inequalities for different $δ$-Casorati curvatures for Riemannian submanifolds are presented. Further applying these results, Casorati inequalities for Riemannian submanifolds of real space forms are obtained. Finally, some problems are presented for further studies.

研究动机与目标

• 将Casorati曲率的概念推广到使用曲率型张量场和对称张量场的代数设定中。
• 通过约束优化技术，建立代数Casorati曲率的基本Casorati不等式。
• 将推导出的不等式应用于黎曼子流形，特别是实空间形式中的子流形，从而获得新的曲率估计。
• 刻画不等式中等式成立的条件，识别出几何条件如具有平凡法丛联络的不变拟脐形子流形。
• 提出开放问题，以将Casorati不等式推广到更广泛的几何设定中，包括拟常曲率和复空间形式。

提出的方法

• 通过曲率型张量 $T$ 和取值于 $B$-值的 $(1,2)$-型对称张量场 $\zeta$，引入代数Casorati曲率 $\widehat{\delta}_{{\cal C}^{T,\zeta}}(n-1)$、$\delta_{{\cal C}^{T,\zeta}}(n-1)$ 及其 $r$-变体。
• 利用约束极值引理，推导出归一化数量曲率与 $\delta$-Casorati曲率之间的最优不等式。
• 通过将 $T$ 特化为黎曼曲率张量、$\zeta$ 特化为第二基本形式，将代数不等式应用于黎曼子流形。
• 利用Gauss方程关联内蕴与外蕴曲率，从而在实空间形式中推导出Casorati不等式。
• 推导出形式为 $\tau_{\text{Nor}}(p) \leq [\delta_{\cal C}(n-1)]_p + c$ 和 $\tau_{\text{Nor}}(p) \leq [\widehat{\delta}_{\cal C}(n-1)]_p + c$ 的精确不等式，适用于 $\widetilde{M}(c)$ 中的子流形。
• 通过正交切空间与法空间基下特定形状算子形式，刻画等式成立的条件，要求子流形为具有平凡法丛联络的不变拟脐形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般的曲率型张量设定下，代数Casorati曲率与归一化数量曲率之间的基本不等式是什么？
• RQ2 在何种几何条件下，这些Casorati不等式中的等式成立？
• RQ3 如何将这些代数不等式应用于推导实空间形式中黎曼子流形的曲率估计？
• RQ4 这些结果能否推广到更一般的环境流形中，例如拟常曲率或复空间形式中的子流形？
• RQ5 在实空间形式中，子流形的Casorati不等式中等式成立的充要条件是什么？

主要发现

• 本文建立了任意 $n$-维黎曼子流形在 $m$-维实空间形式 $\widetilde{M}(c)$ 中的不等式 $\tau_{\text{Nor}}(p) \leq [\delta_{\cal C}(n-1)]_p + c$，且等式成立当且仅当子流形为具有平凡法丛联络的不变拟脐形。
• 通过Casorati曲率的不同归一化方式，推导出类似的不等式 $\tau_{\text{Nor}}(p) \leq [\widehat{\delta}_{\cal C}(n-1)]_p + c$，且等式条件相同。
• 等式情况被完全刻画：形状算子 $A_\alpha$ 必须在正交切空间与法空间基下呈现特定的对角形式。
• 通过将约束极值方法应用于一般曲率型张量与对称张量场框架下的代数Casorati曲率，获得上述结果。
• 推导出的不等式为数量曲率的归一化形式提供了关于 $\delta$-Casorati曲率的精确上界，对所有实空间形式中的子流形均成立。
• 该框架允许推广至其他环境几何，如文中提出的14个开放问题所示，包括复流形、局部共形凯勒流形及博赫纳-凯勒流形中的子流形。