[论文解读] Inequalities for the generalized trigonometric and hyperbolic functions

Riku Klén, Матти Вуоринен+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文将经典三角与双曲不等式（如 Mitrinović-Adamović、Lazarević、Huygens 型、Wilker 型及 Cuza-Huygens 型不等式）推广至由 p-Laplacian 定义的广义三角与双曲函数。通过 l’Hôpital 单调性法则与泛函分析，本文建立了关键函数的严格单调性及凸性/凹性性质，证明了新的不等式，当 p=2 时退化为经典结果。

ABSTRACT

The generalized trigonometric functions occur as an eigenfunction of the Dirichlet problem for the one-dimensional $p-$Laplacian. The generalized hyperbolic functions are defined similarly. Some classical inequalities for trigonometric and hyperbolic functions, such as Mitrinović-Adamović inequality, Lazarević's inequality, Huygens-type inequalities, Wilker-type inequalities, and Cuza-Huygens-type inequalities, are generalized to the case of generalized functions.

研究动机与目标

• 将涉及三角与双曲函数的经典不等式推广至由 p-Laplacian 衍生的广义 p-型函数。
• 建立广义正弦、余弦、正切及其双曲对应函数的单调性与凸性性质。
• 为广义函数提供精确不等式，当 p=2 时退化为已知的经典不等式。
• 将 Mitrinović-Adamović、Lazarević、Huygens 型、Wilker 型及 Cuza-Huygens 型不等式推广至广义设定。
• 为将经典函数不等式推广至 Takeuchi 提出的更广泛的 (p,q)-函数框架奠定基础。

提出的方法

• 以 l’Hôpital 单调性法则（LMR）为核心分析工具，证明函数比值的单调性。
• 通过反积分定义广义三角与双曲函数：$\arcsin_p(x) = \int_0^x (1 - t^p)^{-1/p} dt$，其中 $\sin_p$ 为其反函数。
• 推导微分恒等式，如 $\frac{d}{dx}\sin_p(x) = \cos_p(x)$ 与 $\frac{d}{dx}\tanh_p(x) = 1 - |\tanh_p(x)|^p$。
• 将 LMR 应用于函数比值如 $\frac{\tan_p(x)}{x}$、$\frac{\sinh_p(x)}{x}$ 与 $\frac{\tanh_p(x)}{x}$，以证明其严格单调性。
• 通过研究其对数导数的导数，分析函数如 $f_1(t) = \cos_p(x/t)^t$ 的对数凹性与凸性。
• 运用对称性与函数恒等式，如 $|\sin_p(x)|^p + |\cos_p(x)|^p = 1$ 与 $\cosh_p(x)^p - |\sinh_p(x)|^p = 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典不等式（如 Mitrinović-Adamović 与 Lazarević）推广至 $p > 1$ 时的广义三角函数？
• RQ2 广义函数如 $\frac{\sin_p(x)}{x}$、$\frac{\tanh_p(x)}{x}$ 与 $\frac{\sinh_p(x)}{x}$ 的单调性与凸性性质为何？
• RQ3 Huygens 型与 Wilker 型不等式能否在 p-Laplacian 框架下推广，并获得精确界？
• RQ4 广义函数 $\sin_p(x)$、$\cos_p(x)$、$\sinh_p(x)$ 与 $\cosh_p(x)$ 在变换 $x \mapsto x/t$ 下的行为如何？
• RQ5 这些结果向 Takeuchi 提出的双参数 $(p,q)$-函数的推广潜力为何？

主要发现

• 函数 $f_2(x) = \frac{\tan_p(x)}{x}$ 在 $(0, \pi_p/2)$ 上严格递增，且对 $x \in (0,k)$ 有 $1 < \frac{\tan_p(x)}{x} < \frac{\tan_p(k)}{k}$。
• 函数 $f_1(x) = \frac{\sin_p(x)}{x}$ 在 $(0, \pi_p/2)$ 上严格递减，且对 $x \in (0,k)$ 有 $\frac{\sin_p(x)}{x} < \frac{\sin_p(k)}{k}$。
• 函数 $f_3(x) = \frac{\sinh_p(x)}{x}$ 在 $(0, \infty)$ 上严格递增，且对 $x \in (0,k)$ 有 $\frac{x}{\text{arcsinh}_p(x)} < \frac{\sinh_p(x)}{x} < \frac{bx}{\text{arcsinh}_p(bx)}$，其中 $b = \frac{\sinh_p(k)}{k}$。
• 函数 $f_4(x) = \frac{\tanh_p(x)}{x}$ 在 $(0, \infty)$ 上严格递减，且对 $x \in (0,k)$ 有 $\frac{x}{\text{arctanh}_p(x)} < \frac{\tanh_p(x)}{x} < \frac{cx}{\text{arctanh}_p(cx)}$，其中 $c = \frac{\tanh_p(k)}{k}$。
• 函数 $f_1(t) = \cos_p(x/t)^t$ 在 $(2x/\pi_p, \infty)$ 上严格递增且对数凹，因 $g_1(s) > 0$ 导致 $\log f_1(t)$ 递增。
• 函数 $f_4(t) = \cosh_p(x/t)^t$ 在 $(0, \infty)$ 上严格递减且对数凸，因 $g_4(s)$ 严格递减且 $\log f_4(t)$ 为凸函数。