[论文解读] Inequities in the Shanks-Renyi Prime Number Race: An asymptotic formula for the densities

Daniel Fiorilli, Greg Martin|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用 27

一句话总结

本文為Shanks–Rényi素数分布竞赛中的对数密度 $\delta(q;a,b)$ 建立了具有任意小误差项的渐近级数，其中 $a$ 是模 $q$ 的非完全平方，$b$ 是模 $q$ 的完全平方。关键贡献在于给出了方差 $V(q;a,b)$ 的精确有限公式，从而能够基于 $a$ 和 $b$ 的算术性质精确预测偏差大小，包括指出素数幂非完全平方所对应的密度大于非素数幂非完全平方的情况。

ABSTRACT

Chebyshev was the first to observe a bias in the distribution of primes in residue classes. The general phenomenon is that if $a$ is a nonsquare\\mod q and $b$ is a square\\mod q, then there tend to be more primes congruent to $a\\mod q$ than $b\\mod q$ in initial intervals of the positive integers; more succinctly, there is a tendency for $\\pi(x;q,a)$ to exceed $\\pi(x;q,b)$. Rubinstein and Sarnak defined $\\delta(q;a,b)$ to be the logarithmic density of the set of positive real numbers $x$ for which this inequality holds; intuitively, $\\delta(q;a,b)$ is the "probability" that $\\pi(x;q,a) > \\pi(x;q,b)$ when $x$ is "chosen randomly". In this paper, we establish an asymptotic series for $\\delta(q;a,b)$ that can be instantiated with an error term smaller than any negative power of $q$. This asymptotic formula is written in terms of a variance $V(q;a,b)$ that is originally defined as an infinite sum over all nontrivial zeros of Dirichlet $L$-functions corresponding to characters\\mod q; we show how $V(q;a,b)$ can be evaluated exactly as a finite expression. In addition to providing the exact rate at which $\\delta(q;a,b)$ converges to $\\frac12$ as $q$ grows, these evaluations allow us to compare the various density values $\\delta(q;a,b)$ as $a$ and $b$ vary modulo $q$; by analyzing the resulting formulas, we can explain and predict which of these densities will be larger or smaller, based on arithmetic properties of the residue classes $a$ and $b\\mod q$. For example, we show that if $a$ is a prime power and $a'$ is not, then $\\delta(q;a,1) < \\delta(q;a',1)$ for all but finitely many moduli $q$ for which both $a$ and $a'$ are nonsquares. Finally, we establish rigorous numerical bounds for these densities $\\delta(q;a,b)$ and report on extensive calculations of them.

研究动机与目标

• 量化在GRH与LI假设下，当 $q \to \infty$ 时偏差密度 $\delta(q;a,b)$ 趋近于 $\frac{1}{2}$ 的速率。
• 推导出方差 $V(q;a,b)$ 的显式有限公式，该公式最初定义为Dirichlet $L$-函数非平凡零点的无穷级数。
• 利用算术不变量而非解析零点，预测并比较不同模 $q$ 的剩余类 $a$ 与 $b$ 对应的 $\delta(q;a,b)$ 的相对大小。
• 为大模数计算严格的数值界限，并显式计算 $\delta(q;a,b)$，识别出极端偏差。

提出的方法

• 在GRH与LI假设下，利用素数计数偏差的特征函数，推导 $\delta(q;a,b)$ 的渐近级数。
• 通过Dirichlet特征标上的算术和以及解析项的精确计算，将方差 $V(q;a,b)$ 表示为有限和。
• 利用特征函数及其导数的界，控制渐近展开中的误差项。
• 应用中心极限定理框架，将 $\pi(x;q,a) - \pi(x;q,b)$ 的分布建模为高斯过程。
• 使用经典函数的显式估计与特征和，实现对 $V(q;a,b)$ 和 $\delta(q;a,b)$ 的严格数值界限。
• 进行大量计算，识别并验证117个超过 $\frac{9}{10}$ 的最大密度值。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $q$ 增大时，$\delta(q;a,b)$ 趋近于 $\frac{1}{2}$ 的速度有多快？该速率能否以显式误差项量化？
• RQ2 方差 $V(q;a,b)$（决定偏差的关键）能否以有限表达式精确计算，而非依赖于对 $L$-函数零点的无穷级数求和？
• RQ3 模 $q$ 下 $a$ 与 $b$ 的哪些算术性质决定了 $\delta(q;a,b)$ 比另一组 $\delta(q;a',b')$ 更大或更小？
• RQ4 为何某些剩余类（如素数幂非完全平方）会持续产生比其他类更大的密度？
• RQ5 最大的 $\delta(q;a,b)$ 值是多少？哪些对 $(q,a,b)$ 达到了这一最大值？

主要发现

• 本文推导出 $\delta(q;a,b)$ 的渐近级数，其误差小于任何 $q$ 的负幂次，从而实现对偏差收敛性的高精度分析。
• 证明方差 $V(q;a,b)$ 可以精确表示为包含特征和与算术数据的有限和，不再依赖于对 $L$-函数零点的数值计算。
• 对所有但有限多个 $q$，若 $a$ 是素数幂而 $a'$ 不是，则当两者均为模 $q$ 的非完全平方时，有 $\delta(q;a,1) < \delta(q;a',1)$，揭示了对非素数幂非完全平方的结构性偏好。
• 作者计算并验证了117个不同的密度值超过 $\frac{9}{10}$，其中最大值为 $\delta(24;5,1) = 0.999988$，证实了特定素数分布竞赛中存在极端偏差。
• 为 $\delta(q;a,b)$ 建立了严格的数值界限，确保所有计算值的正确性，并通过推导公式解释了Bays–Hudson镜像现象。
• 本文证实 $\delta(q;a,1) = \delta(q;a^{-1},1)$ 且 $\delta(q;a,1) = \delta(q;ab,b)$ 对所有非完全平方 $a$ 和完全平方 $b$ 成立，为计算结果提供了对称性验证。