[论文解读] Inequivalent $Z_2^n$-graded brackets, $n$-bit parastatistics and statistical transmutations of supersymmetric quantum mechanics

M. M. Balbino, Isaque P. de Freitas+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2023

Algebraic structures and combinatorial modelsMathematics被引用 3

一句话总结

本文证明了 ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-分次李（超）代数允许 $b_n = n + \lfloor n/2\rfloor + 1$ 种不等价的括号，与分次雅可比恒等式相容，将普通统计推广至 $n$-比特的粒子统计。该框架被应用于表明，对于 ${\cal N}=1,2,4,8$ 的 ${\cal N}$-扩展一维超对称量子力学，存在 $s_{\cal N} = 2,6,10,14$ 种不同的统计转置，通过不等价的粒子统计实现，导致标准玻色子或费米子无法实现的新能级简并。

ABSTRACT

Given an associative ring of $Z_2^n$-graded operators, the number of inequivalent brackets of Lie-type which are compatible with the grading and satisfy graded Jacobi identities is $b_n= n+\lfloor n/2 floor+1$. This follows from the Rittenberg-Wyler and Scheunert analysis of "color" Lie (super)algebras which is revisited here in terms of Boolean logic gates. The inequivalent brackets, recovered from $Z_2^n imes Z_2^n ightarrow Z_2$ mappings, are defined by consistent sets of commutators/anticommutators describing particles accommodated into an $n$-bit parastatistics (ordinary bosons/fermions correspond to $1$ bit). Depending on the given graded Lie (super)algebra, its graded sectors can fall into different classes of equivalence expressing different types of (para)bosons and/or (para)fermions. As a first application we construct $Z_2^2$ and $ Z_2^3$-graded quantum Hamiltonians which respectively admit $b_2=4$ and $b_3=5$ inequivalent multiparticle quantizations (the inequivalent parastatistics are discriminated by measuring the eigenvalues of certain observables in some given states). As a main physical application we prove that the $N$-extended, $1D$ supersymmetric and superconformal quantum mechanics, for $N=1,2,4,8$, are respectively described by $s_{N}=2,6,10,14 $ alternative formulations based on the inequivalent graded Lie (super)algebras. These numbers correspond to all possible "statistical transmutations" of a given set of supercharges which, for ${N}=1,2,4,8$, are accommodated into a $Z_2^n$-grading with $n=1,2,3,4$ (the identification is $N= 2^{n-1}$). In the simplest ${N}=2$ setting (the $2$-particle sector of the de DFF deformed oscillator with $sl(2|1)$ spectrum-generating superalgebra), the $Z_2^2$-graded parastatistics imply a degeneration of the energy levels which cannot be reproduced by ordinary bosons/fermions statistics.

研究动机与目标

• 对所有与分次雅可比恒等式及结合环乘法相容的不等价 ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-分次李（超）代数进行分类。
• 将普通统计（1-比特）推广至 $n$-比特的粒子统计，其中粒子根据其分次域分配被分类为玻色子、抛物玻色子、费米子或抛物费米子。
• 将该形式化方法应用于 ${\cal N}$-扩展的超对称量子力学，识别不同统计转置如何从不等价的分次括号中产生。
• 证明当 ${\cal N} = 1,2,4,8$ 时，不等价的实现数量分别为 $s_{\cal N} = 2,6,10,14$，对应于 $n=1,2,3,4$ 比特。
• 表明这些转置在 ${\cal N}=2$ 情况下导致与标准统计不同的能级简并，无法通过标准玻色子或费米子统计再现。

提出的方法

• 通过 Rittenberg-Wyler 和 Scheunert 对颜色李超代数的分析，推导出不等价 ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-分次括号的数量 $b_n = n + \lfloor n/2\rfloor + 1$。
• 使用布尔逻辑门重新表述括号，以对 $n$-比特粒子统计中的相容对易子/反对易子规则进行分类。
• 为 $n=2,3$ 构造 ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-分次量子哈密顿量，其具有 $b_2=4$ 和 $b_3=5$ 种不等价的多粒子实现。
• 将超荷和空位分配至不同分次域，以生成不等价的分次李（超）代数，给出来自四元数、分裂四元数和双四元数的显式例子。
• 分析 ${\cal N}=2$ 的 de Alfaro-Fubini-Furlan 振子模型，表明其 ${\mathbb{Z}}_{2}^{2}$-分次结构导致标准统计中不存在的能级简并。
• 利用双四元数中 $3_{5,i}$、$3_{5,ii}$ 和 $3_{5,iii}$ 子情况的显式（反）对易关系，证明具有不同对角签名的不等价实形式的分次超代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 有多少种不等价的 ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-分次李括号满足分次雅可比恒等式，并与 $n$-比特粒子统计的结合环结构相容？
• RQ2 由 ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-分次算子代数诱导的不等价分次李（超）代数的最小数量 $b_n$ 是多少，其随 $n$ 的增长方式如何？
• RQ3 将“标记”算子分配至不同分次域，如何产生超出 $b_n$ 基数的额外不等价分次李（超）代数？
• RQ4 ${\cal N}$-扩展的超对称量子力学在 ${\cal N}=1,2,4,8$ 时能否通过多种不等价的粒子统计实现？若能，其数量是多少？
• RQ5 这些不等价的实现是否导致物理上不同的能谱，特别是在 ${\cal N}=2$ 情况下，其结果无法通过标准玻色子或费米子统计再现？

主要发现

• 与分次雅可比恒等式相容的不等价 ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-分次括号的数量为 $b_n = n + \lfloor n/2\rfloor + 1$，其中 $b_2 = 4$ 且 $b_3 = 5$。
• 当 $n=2$ 时，四元数代数产生 $c_2 = 4 = b_2$ 种不等价的分次李超代数，而分裂四元数产生 $c_2 = 6 > b_2$，双四元数产生 $c_3 = 16 > b_3 = 5$，表明标记算子可增加不等价实现的数量。
• ${\cal N}=2$ 的 de Alfaro-Fubini-Furlan 振子模型，其谱生成代数为 $sl(2|1)$，在 ${\mathbb{Z}}_{2}^{2}$-分次粒子统计下表现出标准统计中无法实现的能级简并。
• 对于 ${\cal N}=1,2,4,8$，超荷的不等价统计转置数量分别为 $s_{{\cal N}} = 2,6,10,14$，分别对应于 $n=1,2,3,4$ 比特，通过关系 ${\cal N} = 2^{n-1}$ 关联。
• 对双四元数导出的三种不同 $\mathbb{Z}_2^3$-分次超代数——$3_{5,i}$、$3_{5,ii}$ 和 $3_{5,iii}$——的显式（反）对易关系，证明了具有不同对角签名（如 $(-1,+1,+1,+1)$ 和 $(-1,-1,+1,+1)$）的不等价实形式，确认其不等价性。
• $3_{5,i}$ 和 $3_{5,iii}$ 子情况在抛物费米子生成元的对角签名上存在差异，证实它们代表同一分次超代数的不同实形式，双四元数共有 $n_B = 16$ 种不等价的分次李（超）代数。