[论文解读] Inf-convolution and optimal risk sharing with arbitrary sets of risk measures

Marcelo Brutti Righi|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2020

Risk and Portfolio Optimization被引用 1

一句话总结

本文通过将凸权重推广为概率测度，将风险度量的下卷积扩展至任意（不可数）集合，从而在金融与保险情境中建立了最优风险分担与一般均衡的统一框架。其核心贡献在于基于对偶性的严格理论，保留了风险度量的关键性质，并实现了在任意风险度量集合下的最优分配。

ABSTRACT

The inf-convolution of risk measures is directly related to risk sharing and general equilibrium, and it has attracted considerable attention in mathematical finance and insurance problems. However, the theory is restricted to finite (or at most countable in rare cases) sets of risk measures. In this study, we extend the inf-convolution of risk measures in its convex-combination form to an arbitrary (not necessarily finite or even countable) set of alternatives. The intuitive principle of this approach is to regard a probability measure as a generalization of convex weights in the finite case. Subsequently, we extensively generalize known properties and results to this framework. Specifically, we investigate the preservation of properties, dual representations, optimal allocations, and self-convolution.

研究动机与目标

• 将风险度量的下卷积从有限或可数集合推广至任意集合。
• 建立一个对偶框架，确保在任意聚合下风险度量的关键性质得以保留。
• 在存在不可数个风险度量选择的设定中，实现最优风险分担与一般均衡分析。
• 形式化概率测度在无限设定下作为广义凸权重的角色。
• 在扩展框架中研究自卷积与对偶表示。

提出的方法

• 将有限下卷积中的凸组合推广为对概率测度的积分，将其视为连续权重。
• 通过相对于概率测度的积分表示，定义任意风险度量族的下卷积。
• 运用对偶理论，以共轭函数和支持集的形式推导下卷积风险度量的表示。
• 刻画在广义下卷积下凸性、平移不变性及单调性等性质的保持情况。
• 建立在无限设定下最优分配存在且唯一的条件。
• 通过在一般族上考虑风险度量与自身的下卷积，分析自卷积。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将风险度量的下卷积从有限集合一致地扩展至任意（不可数）风险度量集合？
• RQ2 在风险度量聚合的背景下，概率测度在广义凸权重中的作用是什么？
• RQ3 哪些风险度量的基本性质（例如凸性、平移不变性）在该广义下卷积下得以保持？
• RQ4 在无限维设定下，最优风险分配在何种条件下存在？
• RQ5 在广义框架中，下卷积风险度量的对偶表示行为如何？

主要发现

• 通过在概率测度上积分定义的广义下卷积，保留了风险度量的核心性质，如凸性、平移不变性与单调性。
• 建立了下卷积风险度量的对偶表示，将其与各独立风险度量的共轭函数联系起来。
• 在较弱的正则性条件下，最优风险分配存在，并由下卷积风险度量的次微分表征。
• 在广义框架中，风险度量的自卷积是良定义的，并保留了与有限情况相似的结构性质。
• 使用概率测度作为连续权重，在数学上一致且在金融上具有意义地推广了有限凸组合设定。
• 该框架通过支持在不可数个参与者或金融工具之间聚合风险度量，支持一般均衡分析。