[论文解读] Inf-suf stable bES-FEM method for nearly incompressible elasticity

Thanh Hai Ong, Guiqin Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2013

Numerical methods in engineering参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文提出了一种改进的基于边的平滑有限元法（bES-FEM），用于使用在细化网格上通过泡沫函数增强的线性单元进行位移和不连续压力的近不可压缩弹性问题求解。该方法确保满足inf-sup条件，通过弱化弱（W2）公式提高稳定性，并在数值测试中表现出鲁棒且无锁紧的解。

ABSTRACT

This paper introduces the improved edge-based smoothed finite element method (bES-FEM) on simplices to solve the nearly incompressible elasticity problem. The improved method uses the piecewise linear polynomial space enriched with a bubble function on each element for the displacement, and the discontinuous pressure which is defined on a third mesh satisfies the uniform inf-suf condition. Moreover, the bES-FEM method induces a further softening to the bilinear form allowing the weakened weak (W2) procedure to get a quality solution. Several numerical examples are provided to show the effectiveness and reliability of the bES-FEM method.

研究动机与目标

• 为通过稳定化有限元方法解决近不可压缩弹性问题中的体积锁紧问题。
• 通过在细化网格上使用不连续压力空间，确保混合格式中满足inf-sup条件。
• 通过用泡沫函数增强位移形函数，提高稳定性和精度。
• 应用弱化弱（W2）公式，以提升该方法在单纯形网格上的性能。
• 通过数值基准算例验证该方法的鲁棒性和可靠性。

提出的方法

• 该方法采用每个单元内包含泡沫函数的分段线性多项式来近似位移。
• 不连续压力定义在第三个细化网格上，以满足一致的inf-sup条件。
• bES-FEM公式通过在双线性形式中引入额外的柔化效应，增强稳定性。
• 应用弱化弱（W2）公式，以提高混合方法的一致性和精度。
• 该方法在单纯形单元上实现，确保与标准有限元框架的兼容性。
• 泡沫函数增强与不连续压力的结合确保了最优收敛性与无锁紧行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 位移形函数中的泡沫函数增强是否能消除近不可压缩弹性问题中的体积锁紧？
• RQ2 在细化网格上使用不连续压力是否能确保一致的inf-sup条件？
• RQ3 弱化弱（W2）公式如何提升bES-FEM方法的稳定性？
• RQ4 bES-FEM方法在基准近不可压缩弹性问题中的收敛行为与精度如何？
• RQ5 bES-FEM方法是否能在标准单纯形网格上实现最优收敛率且无锁紧？

主要发现

• 由于泡沫函数增强和稳定化的双线性形式，bES-FEM方法实现了无锁紧行为。
• 在细化网格上定义的不连续压力空间确保了统一的inf-sup条件，从而保证了稳定性。
• 弱化弱（W2）公式显著提升了近不可压缩问题中精度与鲁棒性。
• 数值算例证实了最优收敛率，并且性能优于标准FEM。
• 即使在泊松比接近0.5的高值情况下，该方法仍保持稳定与高精度。
• 泡沫函数与不连续压力的结合，形成了一种鲁棒且可靠的混合有限元格式。