[论文解读] Inference for Gaussian Processes with Matérn Covariogram on Compact Riemannian Manifolds

Didong Li, Wenpin Tang+1 more|PubMed|Apr 8, 2021

Soil Geostatistics and Mapping参考文献 53被引用 4

一句话总结

本论文为定义在紧致黎曼流形上的马特ernel协方差函数的高斯过程建立了渐近推断理论，利用拉普拉斯–贝尔特拉米算子的谱性质。论文证明了最大似然估计量的一致性以及最佳线性无偏预测器的渐近最优性，正式识别了微ergodic参数，并在圆流形上进行了理论验证。

ABSTRACT

Gaussian processes are widely employed as versatile modelling and predictive tools in spatial statistics, functional data analysis, computer modelling and diverse applications of machine learning. They have been widely studied over Euclidean spaces, where they are specified using covariance functions or covariograms for modelling complex dependencies. There is a growing literature on Gaussian processes over Riemannian manifolds in order to develop richer and more flexible inferential frameworks for non-Euclidean data. While numerical approximations through graph representations have been well studied for the Matérn covariogram and heat kernel, the behaviour of asymptotic inference on the parameters of the covariogram has received relatively scant attention. We focus on asymptotic behaviour for Gaussian processes constructed over compact Riemannian manifolds. Building upon a recently introduced Matérn covariogram on a compact Riemannian manifold, we employ formal notions and conditions for the equivalence of two Matérn Gaussian random measures on compact manifolds to derive the parameter that is identifiable, also known as the microergodic parameter, and formally establish the consistency of the maximum likelihood estimate and the asymptotic optimality of the best linear unbiased predictor. The circle is studied as a specific example of compact Riemannian manifolds with numerical experiments to illustrate and corroborate the theory.

研究动机与目标

• 为在传统欧几里得假设不成立的紧致黎曼流形上，建立马特埃尔协方差函数高斯过程的严格渐近推断框架。
• 在流形上高斯测度等价条件下，识别马特埃尔协方差函数中的微ergodic参数。
• 在非欧几里得设定下，正式建立最大似然估计量的一致性与最佳线性无偏预测器（BLUP）的渐近最优性。
• 通过在圆流形（一种典型的紧致黎曼流形）上的数值实验验证理论结果。
• 弥合非平坦几何中马特埃尔过程在数值近似与正式统计推断之间的差距。

提出的方法

• 作者利用紧致黎曼流形上拉普拉斯–贝尔特拉米算子的谱分解，通过特征函数与特征值定义了有效的马特埃尔协方差函数。
• 应用高斯测度等价性的正式条件，推导出控制渐近可辨识性的微ergodic参数。
• 在正则性条件下，利用样本方差的几乎必然收敛性与测度等价性，证明了最大似然估计量的一致性。
• 通过分析预测误差方差并证明其收敛至理论最小值，证明了BLUP的渐近最优性。
• 采用协方差函数的截断级数表示进行数值近似，通过控制尾部和的L²-范数推导误差界。
• 利用Narcowich等（1998）的结果，推导出协方差矩阵最小特征值的理论界，确保截断协方差矩阵的正定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致黎曼流形上的马特埃尔协方差函数中，哪些参数在渐近采样下是可辨识的？
• RQ2 在紧致流形上，马特埃尔参数的最大似然估计量在何种条件下是一致的？
• RQ3 对于非欧几里得域上的高斯过程，最佳线性无偏预测器是否具有渐近最优性？
• RQ4 如何在流形上对马特埃尔协方差函数进行数值近似，同时保持其统计性质？
• RQ5 拉普拉斯–贝尔特拉米谱在定义与推断流形上的马特埃尔过程中的作用是什么？

主要发现

• 在紧致黎曼流形上，马特埃尔协方差函数的微ergodic参数在测度等价条件下被正式识别为方差与平滑参数倒数的乘积。
• 微ergodic参数的最大似然估计量是一致的，其样本方差在真实测度下以几乎必然方式收敛至真实方差。
• 最佳线性无偏预测器实现了渐近最优性，其预测误差方差收敛至真实模型下的理论最小值。
• 在圆流形上，数值实验验证了理论的一致性与最优性，预测误差随样本量增加而减小。
• 协方差函数的截断级数近似以一致方式收敛，误差界为$O(L^{-2 u})$，其中$L$为截断阶数，$ u$为平滑参数。
• 当$L$充分大时，协方差矩阵的最小特征值保持远离零，确保了近似协方差矩阵的正定性。