[论文解读] Inference Under Convex Cone Alternatives for Correlated Data

Ramani S. Pilla|ArXiv.org|Jun 25, 2005

Statistical Methods and Inference参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文针对相关数据中的凸锥备择假设，利用广义拟似然比（GQS）统计量发展了渐近推断方法。研究证明，GQS检验统计量的渐近分布等价于标准高斯向量在凸锥上的投影长度的平方，其零分布为加权卡方分布，权重由管体积公式推导得出，从而实现了在局部备择假设下的统计功效分析。

ABSTRACT

In this research, inferential theory for hypothesis testing under general convex cone alternatives for correlated data is developed. While there exists extensive theory for hypothesis testing under smooth cone alternatives with independent observations, extension to correlated data under general convex cone alternatives remains an open problem. This long-pending problem is addressed by (1) establishing that a "generalized quasi-score" statistic is asymptotically equivalent to the squared length of the projection of the standard Gaussian vector onto the convex cone and (2) showing that the asymptotic null distribution of the test statistic is a weighted chi-squared distribution, where the weights are "mixed volumes" of the convex cone and its polar cone. Explicit expressions for these weights are derived using the volume-of-tube formula around a convex manifold in the unit sphere. Furthermore, an asymptotic lower bound is constructed for the power of the generalized quasi-score test under a sequence of local alternatives in the convex cone. Applications to testing under order restricted alternatives for correlated data are illustrated.

研究动机与目标

• 解决相关数据中一般凸锥备择假设下的推断问题，现有理论仅适用于独立观测。
• 推导在相关数据中，凸锥备择假设下广义拟似然比（GQS）统计量的渐近零分布。
• 利用单位球面上凸流形的管体积公式，推导凸锥 $Ω$ 及其对偶锥 $Ω^\circ$ 的混合体积，以表达渐近零分布中的权重。
• 在凸锥的局部备择假设下，构建GQS检验统计量的渐近功效下界。
• 在有序约束推断与相关或纵向数据的单调回归中展示应用。

提出的方法

• GQS统计量作为相关数据下得分检验的大样本近似，将广义矩方法扩展至二次推断函数。
• 证明GQS统计量的渐近零分布等价于标准高斯向量在凸锥 $Ω$ 上的投影长度的平方。
• 零分布被表征为加权卡方分布，权重由凸锥 $Ω$ 及其对偶锥 $Ω^\circ$ 的混合体积给出。
• 利用Hotelling-Weyl-Naiman的管体积公式，推导出权重的显式表达式，适用于单位球面上的凸流形。
• 通过得分向量在锥方向上的投影所导出的非非中心参数，构建GQS检验在局部备择假设下的渐近功效下界。
• 将该框架应用于有序约束检验与单调回归，并在局部备择假设下进行统计功效的数值比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将渐近推断从独立数据推广至相关数据中的普遍凸锥备择假设？
• RQ2 在相关数据中，凸锥备择假设下广义拟似然比统计量的渐近零分布为何？
• RQ3 对于非多面体锥，渐近零分布中的权重能否显式计算？
• RQ4 在凸锥的局部备择假设下，GQS检验的渐近功效下界是什么？
• RQ5 在局部备择假设下，受限检验的统计功效与无约束检验相比如何？

主要发现

• GQS统计量的渐近零分布为加权卡方分布，权重由凸锥及其对偶锥的混合体积导出。
• 权重通过管体积公式显式计算，即使对于非多面体锥也能获得解析表达式。
• GQS检验统计量渐近等价于标准高斯向量在凸锥 $Ω$ 上的投影长度的平方。
• 推导出GQS检验在局部备择假设下的渐近功效下界，表明受限检验在局部备择下比无约束检验更强大。
• 当 $m=3$ 个处理组且 $φ = \pi/3$ 时，GQS检验 ${Σ}_N$ 在所有非非中心参数 $\delta > 0$ 下的局部功效均高于 ${Σ}_N^\star$，在 $\delta=2$ 时功效边界为 0.518，在 $\delta=4$ 时为 0.980。
• ${Σ}_N^\star$ 在 $\delta=5$ 时的精确渐近局部功效为 0.996，其下界为 0.995，验证了边界的紧致性。