[论文解读] Infinitary and Cyclic Proof Systems for Transitive Closure Logic

Liron Cohen, Reuben N. S. Rowe|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 19被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于无限下降的无穷演绎系统，用于传递归闭逻辑（TC logic），该系统在标准语义下是无切规则且完备的，并可涵盖显式归纳系统。此外，研究进一步表明，将系统限制为循环（规则）证明可得到一个有效且可自动化的归纳推理系统，且通过一个语法标准可确保在Henkin语义下的完备性。

ABSTRACT

Transitive closure logic is a known extension of first-order logic obtained by introducing a transitive closure operator. While other extensions of first-order logic with inductive definitions are a priori parametrized by a set of inductive definitions, the addition of the transitive closure operator uniformly captures all finitary inductive definitions. In this paper we present an infinitary proof system for transitive closure logic which is an infinite descent-style counterpart to the existing (explicit induction) proof system for the logic. We show that, as for similar systems for first-order logic with inductive definitions, our infinitary system is complete for the standard semantics and subsumes the explicit system. Moreover, the uniformity of the transitive closure operator allows semantically meaningful complete restrictions to be defined using simple syntactic criteria. Consequently, the restriction to regular infinitary (i.e. cyclic) proofs provides the basis for an effective system for automating inductive reasoning.

研究动机与目标

• 为传递归闭逻辑（TC logic）在标准语义下开发一个完备的无穷演绎系统。
• 证明基于无限下降的无穷演绎系统可涵盖显式归纳系统。
• 识别出能产生有效且可自动化的归纳推理系统的语法限制（规则/循环证明）。
• 通过简单的语法标准，建立在Henkin语义下循环证明的完备性。
• 探讨在TC逻辑背景下，隐式（无穷）归纳与显式（LKID风格）归纳之间的关系。

提出的方法

• 提出一种基于无限高度、非良基树并带有无限下降条件的无穷演绎系统，用于TC逻辑。
• 采用无限下降原理，即证明中每条无限路径均将项或公式追踪至一个良基集合的元素。
• 通过单一传递归闭算子统一处理所有归纳定义，避免为每类归纳定义设置专门的归纳规则。
• 将无穷演绎系统限制为循环（规则）证明，这些证明可被有限图表示，从而支持自动化。
• 使用语法标准——特别是循环结构与项下降——定义在Henkin语义下完备的子系统。
• 将该系统与LKID和CLKIDω进行比较，表明TC逻辑可涵盖LKID的归纳机制，并提供更统一的框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个无切规则、无穷的TC逻辑证明系统，使其在标准语义下完备？
• RQ2 该无穷系统与显式归纳系统（如LKID）之间有何关系？
• RQ3 该系统中的循环证明能否在保持完备性的前提下被有效自动化？
• RQ4 是否存在一种语法标准，可确保在Henkin语义下循环证明的完备性？
• RQ5 TC逻辑相对于LKID的表达能力如何？两者的证明系统有何异同？

主要发现

• 无穷演绎系统是无切规则且在标准语义下完备的，可涵盖显式归纳系统。
• 当限制为满足简单语法标准的循环证明时，该系统在Henkin语义下既正确又完备。
• 该系统中的循环证明可被有限图表示，从而实现归纳推理的有效自动化。
• 传递归闭算子统一捕捉了所有有限归纳定义，消除了对专门归纳规则的需求。
• 该系统可涵盖LKID风格的形式化，表明TC逻辑或可作为归纳推理更统一的基础。
• RTCG与CRTCωG之间的关系仍待澄清，且一般情况下循环与非循环系统是否等价也尚未解决。