[论文解读] Infinite computable version of Lovasz Local Lemma

Andrey Rumyantsev|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文通过将 Moser-Tardos 算法适配到无限、有效呈现的概率系统，建立了无限 Lovász 局部引理（LLL）的可计算版本。证明了在稍作强化的条件下（将界限乘以 $1 - \varepsilon$），存在一个可计算的赋值，可避免所有禁止事件，从而将构造性 LLL 扩展到具有有效依赖关系的无限设定。

ABSTRACT

Lovász Local Lemma (LLL) is a probabilistic tool that allows us to prove the existence of combinatorial objects in the cases when standard probabilistic argument does not work (there are many partly independent conditions). LLL can be also used to prove the consistency of an infinite set of conditions, using standard compactness argument (if an infinite set of conditions is inconsistent, then some finite part of it is inconsistent, too, which contradicts LLL). In this way we show that objects satisfying all the conditions do exist (though the probability of this event equals~$0$). However, if we are interested in finding a computable solution that satisfies all the constraints, compactness arguments do not work anymore. Moser and Tardos recently gave a nice constructive proof of LLL. Lance Fortnow asked whether one can apply Moser--Tardos technique to prove the existence of a computable solution. We show that this is indeed possible (under almost the same conditions as used in the non-constructive version).

研究动机与目标

• 将构造性 Moser-Tardos 算法扩展至标准紧致性论证失效的无限系统。
• 建立在无限约束族中存在可计算解的条件，这些约束具有有限且有效呈现的依赖关系。
• 弥合基于紧致性的非构造性存在性证明与无限组合系统中可有效实现的算法解之间的差距。
• 为构造无限约束满足问题中的可计算解提供一个框架，例如无限 CNF 公式或序列中的模式避免问题。

提出的方法

• 通过基于每个事件中最大变量索引的可计算优先级排序，将 Moser-Tardos 重采样算法适配到无限系统。
• 对事件进行排序，使得所有依赖于变量 $P_0, \dots, P_n$ 的事件构成一个有限前缀，从而支持有限阶段的模拟。
• 利用每个事件的重采样期望次数被有界于 $x(A)/(1 - x(A))$ 的事实，确保在有限阶段内以几乎必然收敛。
• 证明以概率 1，所有依赖于 $P_0, \dots, P_n$ 的约束最终都会被满足，从而支持极限构造。
• 通过设定 $x(A) = 2^{-\beta k}$（其中 $k$ 为子句的大小），将结果应用于无限 CNF 公式，确保在稀疏性条件下收敛。
• 通过从每个子句中移除少量变量，将每个变量出现无限次的一般情况约化为出现次数有限的情况，同时保持稀疏性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 Moser-Tardos 算法能否被适配以在紧致性证明失效的无限系统中构造性地找到解？
• RQ2 在具有有限依赖变量集的无限约束族中，何种有效条件下存在可计算解？
• RQ3 是否可以通过统一乘以 $1 - \varepsilon$ 因子来强化经典 LLL 条件，以确保解的可计算性？
• RQ4 构造性 LLL 能否应用于具有变量相关子句频率的无限 CNF 公式？
• RQ5 该方法能否扩展到二维配置或其他多维约束系统？

主要发现

• 当 $\Pr[A] \leq (1 - \varepsilon)x(A) \prod_{E \in \Gamma(A)} (1 - x(E))$ 对某个有理数 $\varepsilon > 0$ 和可计算函数 $x: \mathcal{A} \to (0,1)$ 成立时，存在一个可计算的赋值，可避免所有禁止事件。
• 当按最大变量索引排序时，Moser-Tardos 算法在无限系统中以几乎必然收敛到一个满足赋值。
• 对于每个变量最多有 $2^{\alpha n}$ 个大小为 $n$ 的子句的无限 CNF 公式，若 $\alpha < 1$ 且子句大小足够大，则存在一个可计算的满足赋值。
• 该结果可扩展至二维配置：对于一个可判定的矩形图案集合，若面积为 $n$ 的图案最多有 $2^{\alpha n}$ 个，则存在一个可计算的二维配置，可避免大图案。
• 该方法通过从每个子句中移除少量变量，将每个变量出现无限次的一般情况约化为出现次数有限的情况，同时保持稀疏性条件。
• 该框架为可计算无限序列的存在性提供了构造性证明，该序列可避免来自一个可判定集合 $F$ 的所有子串，且长度为 $n$ 的字符串最多有 $2^{\alpha n}$ 个。