[论文解读] Infinite computations with random oracles

Merlin Carl, Philipp Schlicht|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2013

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文研究了：若一个实数相对于一个大集合的预言机（如全测度、正测度、余稠密或非零测度的 Borel 集）是可计算的，是否其必然在无预言机的情况下也可计算。研究发现，对于大多数无限时间机器模型（如 ITTM、ITRM 和 α-图灵机），从大预言机集合中的一致可计算性意味着标准可计算性；但对于序数图灵机（OTM），该问题在 ZFC 公理系统下是独立的，凸显了这些模型在随机性假设下的根本性差异。

ABSTRACT

We consider the following problem for various infinite time machines. If a real is computable relative to large set of oracles such as a set of full measure or just of positive measure, a comeager set, or a nonmeager Borel set, is it already computable? We show that the answer is independent from ZFC for ordinal time machines (OTMs) with and without ordinal parameters and give a positive answer for most other machines. For instance, we consider, infinite time Turing machines (ITTMs), unresetting and resetting infinite time register machines (wITRMs, ITRMs), and α-Turing machines for countable admissible ordinals α.

研究动机与目标

• 确定一个实数若相对于一个大集合的预言机（例如全测度、正测度、余稠密、非零测度 Borel 集）可计算，是否必然在无预言机下也可计算。
• 研究在无限时间计算模型背景下，邱奇-图灵论题的稳健性。
• 考察随机性和泛型性在预言机计算中的作用，特别是随机或泛型预言机是否能产生不可计算的实数。
• 比较不同无限时间机器模型（OTM、ITTM、ITRM、α-图灵机）在预言机集合的各种“大”概念下的行为。
• 澄清在测度论或拓扑“大”条件存在下，相对可计算性与绝对可计算性之间的边界。

提出的方法

• 分析多种无限时间机器模型中的预言机计算：OTM、ITTM、ITRM（非重置与重置型）以及可数可承认序数 α 下的 α-图灵机。
• 将测度论和拓扑学中的“大”概念（如全测度、正测度、余稠密、非零测度 Borel 集）应用于预言机集合。
• 使用可定义性与可构造性技术，特别是 $L_{\beta}$-层级和 $L_{\text{ord}}$-结构，分析停机时间与可计算性层级。
• 采用泛型性论证，包括在 $L_{\beta}$ 上的 Cohen 泛型实数，以证明某些预言机能保持计算的可承认性与可构造性层级。
• 应用迫迫使理论与随机实数理论，证明若一个实数可从正测度集合或余稠密集中的所有预言机计算，则其属于低层级的可构造层次。
• 利用 $L_{\beta}$ 上的相互泛型性可推出交集为 $L_{\beta}$ 的事实，从而得出所计算的实数属于 $L_{\beta}$，因此是可计算的。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于无限时间图灵机（ITTM），从正测度集合中所有预言机可计算是否意味着标准可计算？
• RQ2 对于带或不带序数参数的序数图灵机（OTM），预言机集合“大”的问题在 ZFC 下是否独立？
• RQ3 对于非重置与重置型无限时间寄存器机（wITRM、ITRM），从非零测度 Borel 集中所有预言机可计算是否意味着标准可计算？
• RQ4 对于可数可承认序数 α 下的 α-图灵机，从正测度集合或非零测度 Borel 集中所有预言机可计算是否意味着 α-可计算？
• RQ5 在何种条件下，$L_{\beta}$ 上预言机的相互泛型性可推出：由其计算出的实数属于 $L_{\beta}$，因而可计算？

主要发现

• 对于无限时间图灵机（ITTM），在非零测度 Borel 集中所有预言机的可写性（最终可写性、偶然可写性）意味着标准可写性。
• 对于非重置与重置型无限时间寄存器机（wITRM、ITRM），从正测度集合或非零测度 Borel 集中所有预言机可计算意味着标准可计算。
• 对于所有（及无界多个）可数可承认序数 α，从非零测度 Borel 集或正测度集合中所有预言机可计算意味着 α-图灵机的 α-可计算性。
• 对于序数图灵机（OTM），大预言机集合是否蕴含标准可计算性的问题在 ZFC 下是独立的，无论是否带序数参数。
• OTM 停机时间的上确界 η 满足 $\bar{\alpha} < \eta$，其中 $\bar{\alpha}$ 是最小序数，使得 $L_{\bar{\alpha}}$ 与某个 $\beta > \bar{\alpha}$ 的 $L_{\beta}$ 之间存在初等等价。
• 若实数 x 可从 $L_{\alpha+1}$ 上所有 Cohen 泛型的余稠密集 C 中的所有预言机计算，则 $x \in L_{\alpha}$，因此 x 是 α-可计算的。