[论文解读] Infinite-dimensional groups over finite fields and Hall-Littlewood symmetric functions

Cesar Cuenca, Grigori Olshanski|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2021

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文通过霍尔-利特尔伍德对称函数，建立了有限域上无限维李代数上的遍历共轭伴随不变Radon测度与形变杨图上的调和函数之间的对应关系。该研究将可追踪因子表示理论扩展至共轭伴随作用情形，表明在有限域上的酉群中，这些测度与参数 $ t = -q^{-1} $ 的非标准霍尔-利特尔伍德形变相关联，从而产生普朗歇尔测度的类比以及新的分支图。

ABSTRACT

The groups mentioned in the title are certain matrix groups of infinite size over a finite field $\mathbb F_q$. They are built from finite classical groups and at the same time they are similar to reductive $p$-adic Lie groups. In the present paper, we initiate the study of invariant measures for the coadjoint action of these infinite-dimensional groups. We examine first the group $\mathbb{GLB}$, a topological completion of the inductive limit group $\varinjlim GL(n, \mathbb F_q)$. As was shown by Gorin, Kerov, and Vershik [arXiv:1209.4945], the traceable factor representations of $\mathbb{GLB}$ admit a complete classification, achieved in terms of harmonic functions on the Young graph $\mathbb Y$. We show that there exists a parallel theory for ergodic coadjoint-invariant measures, which is linked with a deformed version of harmonic functions on $\mathbb Y$. Here the deformation means that the edges of $\mathbb Y$ are endowed with certain formal multiplicities coming from the simplest version of Pieri rule (multiplication by the first power sum $p_1$) for the Hall-Littlewood (HL) symmetric functions with parameter $t:=q^{-1}$. This fact serves as a prelude to our main results, which concern topological completions of two inductive limit groups built from finite unitary groups. We show that in this case, coadjoint-invariant measures are linked to some new branching graphs. The latter are still related to the HL functions, but the novelty is that now the formal edge multiplicities come from the multiplication by $p_2$ (not $p_1$) and the HL parameter $t$ turns out to be negative (as in Ennola's duality).

研究动机与目标

• 对有限域上无限维群的共轭伴随作用下的遍历不变Radon测度进行分类。
• 通过形变图上的调和函数，将可追踪因子表示理论扩展至共轭伴随情形。
• 建立酉不变测度与参数 $ t = -q^{-1} $ 的霍尔-利特尔伍德对称函数之间的联系。
• 为来自偶数维和奇数维酉群的共轭伴随不变测度构造新的分支图。

提出的方法

• 使用归纳极限构造法，定义有限经典群（如 $ \mathrm{GLB} $、$ \mathrm{U}(2\infty, q^2) $ 和 $ \mathrm{U}(2\infty+1, q^2) $）在 $ \mathbb{F}_q $ 上的拓扑完备化。
• 在局部紧阿贝尔群上应用Radon变换与傅里叶分析，以定义广义球面对称表示。
• 引入带有边重数由霍尔-利特尔伍德多项式决定的 $ \mathrm{HL} $-形变杨图 $ Y^{\mathrm{HL}}(t) $。
• 利用锥同构定理，将分支图的边界与 $ Y^{\mathrm{HL}}(t) $ 上的非负调和函数空间对应起来。
• 通过不变测度与广义球面对称表示之间的Mackey型对应关系，将测度与酉表示联系起来。
• 在酉情形下，通过 $ t = -q^{-1} $ 的普朗歇尔型公式显式构造测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对有限域上无限维群的遍历共轭伴随不变Radon测度进行分类？
• RQ2 霍尔-利特尔伍德对称函数在共轭伴随轨道空间上不变测度结构中起什么作用？
• RQ3 在测度分类的语境下，酉群的分支图与一般线性群的分支图有何不同？
• RQ4 参数 $ t = -q^{-1} $ 在酉群的杨图形变中具有何种意义？
• RQ5 能否为这些无限维群构造普朗歇尔测度的类比？

主要发现

• 对于 $ \mathrm{GLB} $，遍历共轭伴随不变Radon测度与参数 $ t = q^{-1} $ 的霍尔-利特尔伍德形变杨图 $ Y^{\mathrm{HL}}(t) $ 上的非负调和函数之间存在一一对应。
• 对于偶数维酉群 $ \mathrm{U}(2\infty, q^2) $，不变测度与 $ Y^{\mathrm{HL}}(t) $ 在 $ t = -q^{-1} $ 处的新分支图相关联，该形变非标准霍尔-利特尔伍德形变。
• 对于奇数维酉群 $ \mathrm{U}(2\infty+1, q^2) $，同样出现 $ t = -q^{-1} $ 的非标准形变，导致不同的分支结构。
• 酉群情形下分支图的边界通过 $ Y^{\mathrm{HL}}(-q^{-1}) $ 上的调和函数描述，推广了经典杨图的托马单纯形。
• 该理论导出了新的酉不变测度族，包括通过 $ t = -q^{-1} $ 形变构造的普朗歇尔型测度。
• 通过傅里叶变换与Gelfand三元组构造，建立了不变测度与广义球面对称表示之间的对应关系，将Mackey理论扩展至非紧情形。