[论文解读] Infinite-dimensional integration and the multivariate decomposition method

Frances Y. Kuo, Dirk Nuyens+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2015

Mathematical Approximation and Integration参考文献 52被引用 16

一句话总结

该论文通过假设在范数空间 $ F_{\frak{u}} $ 中函数分量 $ f_{\frak{u}} $ 的已知界 $ B_{\frak{u}} $，而非依赖于算法相关的权重 $ \gamma_{\frak{u}} $，推进了无限维积分的多变量分解方法（MDM）。它证明了勒贝格积分与锚定积分相等，且该等式独立于锚定点的选择。推导出形式为 $ \varepsilon^{1-\delta(\varepsilon)} $ 的收敛速率，其中 $ \delta(\varepsilon) = O(1/\ln(\ln(1/\varepsilon))) $，进而得出成本界为 $ O(\varepsilon^{-(1+\delta(\varepsilon))}) $。

ABSTRACT

We further develop the \\emph{Multivariate Decomposition Method} (MDM) for the Lebesgue integration of functions of infinitely many variables $x_1,x_2,x_3,\\ldots$ with respect to a corresponding product of a one dimensional probability measure. Although a number of concepts of infinite-dimensional integrals have been used in the literature, questions of uniqueness and compatibility have mostly not been studied. We show that, under appropriate convergence conditions, the Lebesgue integral equals the `anchored' integral, independently of the anchor. The MDM assumes that point values of $f_{\\mathfrak{u}}$ are available for important subsets ${\\mathfrak{u}}$, at some known cost. In this paper we introduce a new setting, in which it is assumed that each $f_{\\mathfrak{u}}$ belongs to a normed space $F_{\\mathfrak{u}}$, and that bounds $B_{\\mathfrak{u}}$ on $\\|f_{\\mathfrak{u}}\\|_{F_{\\mathfrak{u}}}$ are known. This contrasts with the assumption in many papers that weights $\\gamma_{\\mathfrak{u}}$, appearing in the norm of the infinite-dimensional function space, are somehow known. Often such weights $\\gamma_{\\mathfrak{u}}$ were determined by minimizing an error bound depending on the $B_{\\mathfrak{u}}$, the $\\gamma_{\\mathfrak{u}}$ \\emph{and} the chosen algorithm, resulting in weights that depend on the algorithm. In contrast, in this paper only the bounds $B_{\\mathfrak{u}}$ are assumed known. We give two examples in which we specialize the MDM: in the first case $F_{\\mathfrak{u}}$ is the $|{\\mathfrak{u}}|$-fold tensor product of an anchored reproducing kernel Hilbert space, and in the second case it is a particular non-Hilbert space for integration over an unbounded domain.

研究动机与目标

• 通过在乘积测度背景下严格定义勒贝格积分，解决无限维积分概念中缺乏唯一性与兼容性的问题。
• 开发一种新的 MDM 框架，仅假设 $ \|f_{\frak{u}}\|_{F_{\frak{u}}} $ 的界 $ B_{\frak{u}} $，避免依赖于算法相关的权重 $ \gamma_{\frak{u}} $。
• 建立勒贝格积分与锚定积分之间的理论等价性，且该等价性独立于锚定点的选择。
• 在新的基于 $ B_{\frak{u}} $ 的设定下，提供 MDM 的收敛性与成本分析，给出明确的误差与成本界。
• 将 MDM 特化于两种情形：(1) 锚定再生核希尔伯特空间（RKHS）的张量积，以及 (2) 无界区域的非希尔伯特空间。

提出的方法

• 将 MDM 应用于函数 $ f = \sum_{\frak{u}} f_{\frak{u}} $，其中每个 $ f_{\frak{u}} $ 仅依赖于有限子集 $ \frak{u} \subset \mathbb{N} $ 索引的变量，且 $ f_{\frak{u}} \in F_{\frak{u}} $，其范数有已知界 $ B_{\frak{u}} $。
• 在乘积测度 $ \rho = \prod_{j=1}^\infty \rho_j $ 下进行积分，其中 $ \rho_j $ 是在 $ [0,\infty) $ 上的指数分布 $ \exp(-x_j) $。
• 以锚定积分为参考，并证明在收敛条件下，勒贝格积分等于锚定积分，且该等式与锚定点的选择无关。
• 采用斯莫利亚克构造法，利用误差满足 $ \|I - U_i\| < C_1 2^{-i} $（$ C_1 = 1.00656 $）的单变量求积规则 $ U_i $ 构建多变量积分算法 $ A_{{\frak{u}},n_{\frak{u}}} $。
• 通过涉及二项式系数与衰减率的 $ G_{{\frak{u}},q} $ 项，推导出 MDM 的误差界，利用积分泛函的范数 $ C_{\frak{u}} = \|I_{\frak{u}}\| = 1 $。
• 最终算法 $ \overline{{\mathcal{A}}}_{\varepsilon} $ 通过基于 $ B_{\frak{u}} $ 选择 $ \kappa_{\frak{u}} $ 和 $ h_{\frak{u}} $ 构建，实现收敛性 $ e(\overline{{\mathcal{A}}}_{\varepsilon}; {\mathcal{F}}) \leq \varepsilon^{1-\delta(\varepsilon)} $，其中 $ \delta(\varepsilon) = O(1/\ln(\ln(1/\varepsilon))) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个无穷变量函数的勒贝格积分等于锚定积分，且该等式与锚定点的选择无关？
• RQ2 当仅知 $ \|f_{\frak{u}}\|_{F_{\frak{u}}} $ 的界 $ B_{\frak{u}} $ 时，如何重新表述多变量分解方法（MDM），而不假设依赖于算法的权重 $ \gamma_{\frak{u}} $？
• RQ3 在新的基于 $ B_{\frak{u}} $ 的框架下，MDM 可实现的收敛速率与成本界是什么？
• RQ4 当 MDM 特化于 (1) 锚定 RKHS 的张量积与 (2) 无界区域的非希尔伯特空间时，其性能如何？
• RQ5 积分算法的复杂性与函数分量范数界 $ B_{\frak{u}} $ 的衰减之间有何关系，特别是当 $ \pounds(d) = e^{O(d)} $ 时？

主要发现

• 在函数 $ f $ 具有主导收敛分解 $ f = \sum_{\frak{u}} f_{\frak{u}} $ 且满足适当收敛条件时，其勒贝格积分等于锚定积分，且该等式独立于锚定点的选择。
• 在新的 MDM 设定下，已知 $ B_{\frak{u}} $，算法 $ \overline{{\mathcal{A}}}_{\varepsilon} $ 的误差满足 $ e(\overline{{\mathcal{A}}}_{\varepsilon}; {\mathcal{F}}) \leq \varepsilon^{1-\delta(\varepsilon)} $，其中 $ \delta(\varepsilon) = O(1/\ln(\ln(1/\varepsilon))) $。
• 算法 $ \overline{{\mathcal{A}}}_{\varepsilon} $ 的成本界为 $ O(\varepsilon^{-(1+\delta(\varepsilon))}) $，该界对于给定的误差率而言近乎最优。
• 当 $ \pounds(d) = e^{O(d)} $ 时，成本界仍为 $ O(\varepsilon^{-(1+\delta(\varepsilon))}) $，表明该算法在问题维度增加时具有良好的可扩展性。
• 在锚定 RKHS 情形下，$ \boldsymbol{x}_{\frak{u}} $ 处的评价泛函范数为 $ \prod_{j \in \frak{u}} x_j $，且积分泛函的范数为 1。
• 在具有指数权的无界区域情形下，单变量积分泛函的范数为 1，且 MDM 实现了误差为 $ \varepsilon^{1-\delta(\varepsilon)} $ 与成本为 $ O(\varepsilon^{-(1+\delta(\varepsilon))}) $ 的收敛性。