[论文解读] Infinite-Dimensional Quadrature and Quantization

Steffen Dereich, Thomas Mueller-Gronbach+1 more|ArXiv.org|Jan 11, 2006

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文针对无限维巴拿赫空间上利普希茨泛函的数值积分，建立了确定性与随机算法的最坏情况误差的紧致界，将求积性能与泛函量化及科莫戈罗夫宽度联系起来。研究证明，对于扩散过程和高斯测度，随机化能显著提升收敛速率，实现近乎最优的误差界，仅相差对数因子。

ABSTRACT

We study numerical integration of Lipschitz functionals on a Banach space by means of deterministic and randomized (Monte Carlo) algorithms. This quadrature problem is shown to be closely related to the problem of quantization of the underlying probability measure. In addition to the general setting we analyze in particular integration w.r.t. Gaussian measures and distributions of diffusion processes. We derive lower bounds for the worst case error of every algorithm in terms of its computational cost, and we present matching upper bounds, up to logarithms, and corresponding almost optimal algorithms. As auxiliary results we determine the asymptotic behaviour of quantization numbers and Kolmogorov widths for diffusion processes.

研究动机与目标

• 分析无限维巴拿赫空间上利普希茨泛函数值积分的计算复杂度。
• 为确定性与随机算法建立最坏情况误差的紧致下界与上界。
• 将求积性能与底层概率测度的泛函量化及科莫戈罗夫宽度相联系。
• 为高斯测度与扩散过程的积分推导近乎最优的算法。
• 确定扩散过程的量化数与科莫戈罗夫宽度的渐近行为。

提出的方法

• 使用实数计算模型，通过函数值的预言机访问，计算成本以子空间维数衡量。
• 采用最坏情况分析，以计算成本 $N$ 表示确定性与随机算法的最小误差界。
• 依赖于概率测度 $\mu$ 的泛函量化，以构造高效的随机算法。
• 利用平均线性宽度与逼近方案 $\widehat{X}^{(k)}$ 控制蒙特卡洛积分中的期望误差。
• 通过涉及小球函数 $\varphi(\varepsilon) \asymp \varepsilon^{-\alpha} (\ln \varepsilon^{-1})^\beta$ 的不等式推导误差界，适用于高斯测度。
• 基于弱欧拉格式与有限维子空间抽样构造随机算法，优化 $n$ 与 $k$ 以满足成本 $\preceq N$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限维求积问题中，确定性与随机算法的最优收敛速率为何？
• RQ2 在扩散过程与高斯测度背景下，随机算法的性能与确定性算法相比如何？
• RQ3 求积误差与底层测度的量化数或科莫戈罗夫宽度之间存在何种关系？
• RQ4 小球概率与逼近误差的渐近行为如何影响收敛速率？
• RQ5 能否为高斯测度与扩散过程的积分构造近乎最优的算法？

主要发现

• 对于扩散过程，确定性算法的最坏情况误差满足 $\varepsilon_N^{\mathrm{det}} \succeq (\ln N)^{-1/2}$，表明其不可计算。
• 对于扩散过程的随机算法，$N^{-1/4} \cdot (\ln N)^{-3/4} \preceq \varepsilon_N^{\mathrm{ran}} \preceq N^{-1/4} \cdot (\ln N)^{1/4}$，其中上界由弱欧拉格式实现。
• 对于小球函数 $\varphi(\varepsilon) \asymp \varepsilon^{-\alpha} (\ln \varepsilon^{-1})^\beta$ 的高斯测度，若满足 B-凸性，随机误差满足 $\varepsilon_N^{\mathrm{ran}} \preceq N^{-1/(2+\alpha)} \cdot (\ln N)^{\beta/(2+\alpha)}$，一般情况下可改进为 $\preceq N^{-1/(2+\alpha)} \cdot (\ln N)^{-(2+2\alpha-\alpha\beta)/(\alpha(2+\alpha))}$。
• 所构造的随机算法 $\widehat{S}_N$ 在成本 $\preceq N$ 下实现误差 $e(\widehat{S}_N) \preceq N^{-1/(2+\alpha)} \cdot (\ln N)^{\beta/(2+\alpha)}$，仅相差对数因子。
• 对于 $C([0,1])$ 上的分数布朗运动，$\alpha = 1/H$，误差率变为 $N^{-1/(2+1/H)} \cdot (\ln N)^{H(d-1)+d/2}$，适用于 $d$-维片。
• 该算法近乎最优，满足 $e(\widehat{S}_N) \leq c \cdot \varepsilon_N^{\mathrm{ran}} \cdot (\ln N)^{1+2/(\alpha(2+\alpha))} \cdot (\ln\ln N)^{-2\beta/(\alpha(2+\alpha))}$ 对无穷多个 $N$ 成立。