[论文解读] Infinite-dimensional vector bundles in algebraic geometry (an introduction)

Vladimir Drinfeld|ArXiv.org|Sep 8, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用 52

一句话总结

本文提出了一套严谨的代数几何中无穷维向量丛的框架，利用Tate空间与K-理论，确立其在动机积分与曲面上丛的模空间中的作用。通过K_{-1}-理论与维数扭量（dimension torsor）定义了Tate空间族，并将该理论应用于形式环路与带删去点的流形上的向量丛，得到一个更精细的动机积分，以及一个具有预设奇点的G-丛在曲面上的新模堆栈。

ABSTRACT

Raynaud and Gruson showed that there is a reasonable algebro-geometric notion of family of discrete (infinite-dimensional) vector spaces. The author introduces a notion of family of Tate spaces ("Tate" means "locally linearly compact") and claims that it is local. The definition takes in account that the K_{-1} of a ring is not necessarily zero. However, we prove that K_{-1} always vanishes after Nisnevich sheafification. As a discrete counterpart of families of Tate spaces, we introduce the notion of almost projective module. We discuss the notions of dimension torsor and determinant gerbe of a family of Tate spaces. The above technique has two different applications. First, we clarify the structure of the ind-scheme of formal loops of a smooth affine manifold Y. This allows to define a "refined" motivic integral of a differential form on Y with no zeros, which is an object of a triangulated category rather than an element of its K_0 group. Second, we show that almost projective modules and families of Tate spaces appear naturally in the study of the cohomology of a family of finite-dimensional vector bundles on a punctured smooth manifold. The canonical central extension that comes from this cohomology allows to interpret the "Uhlenbeck compactification" of the stack of vector bundles on the projective plane as the fine moduli space of a certain type of generalized vector bundles.

研究动机与目标

• 发展一个具有无穷维、局部线性紧致纤维的向量丛的连贯代数几何理论。
• 通过三角范畴与行列式线丛，将动机积分推广为更精细的版本。
• 通过预丛与中心扩张，构造一个具有受控奇点的曲面上G-丛的模堆栈。
• 阐明K_{-1}(R)与维数扭量在分类Tate模族及其对偶中的作用。
• 建立形式环空间与Tate-光滑Ind-概形之间的联系，从而在算术几何中产生新的不变量。

提出的方法

• 以环R上的Tate模作为无穷维向量丛的基础对象，定义为近乎投影模的投射极限。
• 通过Calkin范畴应用K_{-1}(R)，以分类Tate空间族并定义维数扭量。
• 引入行列式线丛与自同构群的典范中心扩张，用于近乎投影模与Tate模。
• 在k((t))上光滑仿射流形的形式环空间上定义‘Tate-光滑’Ind-概形结构。
• 将预丛定义为在X减去闭子概形F上的向量丛，配备一个中心扩张的分裂。
• 通过有限个局部完全交截子概形上的归纳2-极限，定义X上GL(n)-丛的完整模堆栈。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在代数几何中为具有无穷维、局部线性紧致纤维的向量丛定义一个有意义的概念？
• RQ2 K_{-1}(R)与维数扭量如何用于分类概形Spec(R)上的Tate空间族？
• RQ3 能否通过三角范畴与行列式线丛，而非群值不变量，来实现动机积分的精细化？
• RQ4 具有预设奇点的曲面上G-丛的模堆栈具有何种结构？
• RQ5 在k((t))上光滑概形的形式环空间如何具备Tate-光滑结构？它携带哪些不变量？

主要发现

• 在k((t))上光滑仿射流形的形式环空间的Ind-概形是k上的Tate-光滑，确立了关键的几何应用。
• 精细的动机积分取值于三角范畴而非格罗滕迪克群，提供了更强的不变量。
• R上Tate模的维数扭量非平凡，且用于分类行列式理论的扩张。
• 在P^2_Q上，P^1_Q处平凡化的GL(n)-丛的模堆栈，与Uhlenbeck紧化在GL(n)作用下的商同构。
• 对于域k，曲面X上的预丛堆栈等价于对偶对(L, Z)的范畴，其中L为向量丛，Z为0-循环。
• 预丛堆栈中丛的闭子堆栈由条件Z为有效（即Z ≥ 0）所刻画。