[论文解读] Infinite divisibility of solutions to some self-similar integro-differential equations and exponential functionals of Lévy processes

Pierre Patie|arXiv (Cornell University)|May 16, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文表征了一类与谱负稳定过程相关的自相似积分微分算子的递增特征函数，表明这些函数的特定组合是正实轴上无限可分与自可分解分布的拉普拉斯变换。关键贡献在于对哈特曼关于修正贝塞尔函数结果的随机推广，通过引入新型阶乘类乘积与拉普拉斯变换恒等式，将结果扩展至广义马提尼-莱夫勒函数与幂级数函数。

ABSTRACT

We provide the increasing eigenfunctions associated to spectrally negative self-similar Feller semigroups, which have been introduced by Lamperti. These eigenfunctions are expressed in terms of a new family of power series which includes, for instance, the modified Bessel functions of the first kind and some generalizations of the Mittag-Leffler function. Then, we show that some specific combinations of these functions are Laplace transforms of self-decomposable or infinitely divisible distributions concentrated on the positive line with respect to the main argument, and, more surprisingly, with respect to a parameter of the process. In particular, this generalizes a result of Hartman (1976) obtained for the increasing solution of the Bessel differential equation. Finally, we compute, for some cases, the associated decreasing eigenfunctions and derive the Laplace transform of the exponential functionals of some spectrally negative Lévy processes with a negative first moment.

研究动机与目标

• 表征与谱负莱维过程相关的自相似积分微分算子的递增特征函数。
• 建立这些特征函数的某些比值与变换为正实轴上无限可分或自可分解分布的拉普拉斯变换。
• 将哈特曼关于修正贝塞尔函数比值无限可分性的经典结果，推广至由广义幂级数导出的更广泛类特殊函数。
• 推导谱负自相似马尔可夫过程的指数泛函与首达时间的显式拉普拉斯变换。
• 引入一种新的广义阶乘符号及其相关幂级数，统一并扩展已知的特殊函数，如马提尼-莱夫勒函数与贝塞尔函数。

提出的方法

• 本研究采用了一类通过参数 α、γ 和 ϱ 定义的广义阶乘乘积 (α,γ)_{ϱ,n} 构造的新幂级数族，该类乘积推广了标准阶乘与伽马函数的行为。
• 通过兰珀蒂映射，将无穷小生成元 L^{(γ)} 分析为正 α-自相似费勒过程的生成元，从而将其与莱维过程的指数泛函联系起来。
• 递增特征函数 f_q(x) 作为方程 L^{(γ)}f_q(x) = qf_q(x) 的解被构造，其表达式基于这些广义幂级数。
• 通过分析特征函数及其对数导数的函数形式，推导出相应分布的拉普拉斯变换。
• 论文引入并分析了基于广义阶乘定义的广义马提尼-莱夫勒型函数 E_{ϱ,β,γ}(x) 与 I_{α,γ,ϱ}(x)，以统一并扩展已知的特殊函数。
• 推导出关键恒等式，包括 lim_{ϱ↓1} I_{α,γ,ϱ}(x) = e^{x/α}，表明在极限下收敛于指数函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，自相似积分微分算子 L^{(γ)} 的递增特征函数是正实轴上无限可分分布的拉普拉斯变换？
• RQ2 哈特曼关于修正贝塞尔函数比值无限可分性的结果能否推广至由莱维过程导出的更广泛类特殊函数？
• RQ3 谱负莱维过程（具有负一阶矩）的指数泛函的拉普拉斯变换结构为何？其能否用广义幂级数表示？
• RQ4 广义阶乘乘积 (α,γ)_{ϱ,n} 如何在无限可分性背景下统一并扩展已知的特殊函数（如马提尼-莱夫勒函数与贝塞尔函数）？
• RQ5 参数 ψ(γ) 与特征函数比值的无限可分性之间存在何种关系？该关系在稳定过程情形下如何推广？

主要发现

• 映射 q ↦ 1 / E_{ϱ,ϱβ,γ}(q) 是正自可分解分布的拉普拉斯变换，其中 1 < ϱ < 2，β ≥ 0，且 γ > 1 − ϱ。
• 映射 q ↦ exp(q E'_{ϱ,ϱβ,γ}(q) / E_{ϱ,ϱβ,γ}(q)) 是正无限可分分布的拉普拉斯变换，条件同上。
• 对于 0 < a < A 且 γ ≥ γ₀，涉及 E_{ϱ,ϱβ,γ+ρ}(a) 与 E_{ϱ,ϱβ,γ}(A) 的比值是正无限可分分布的拉普拉斯变换，其中 ρ = φ(λ)。
• 在稳定过程情形下，引入函数 I_{α,γ,ϱ}(c_ϱ x) = ∑_{n=0}^∞ x^n / (α,γ)_{ϱ,n}，且 lim_{ϱ↓1} I_{α,γ,ϱ}(x) = e^{x/α}，表明其在极限下收敛于指数函数。
• 映射 q ↦ 1 / I_{α,γ,ϱ}(q) 是正自可分解分布的拉普拉斯变换，其中 1 < ϱ < 2，α > 0，γ ≥ 0。
• 在稳定过程设定下，映射 q ↦ exp(q I'_{α,γ,ϱ}(q) / I_{α,γ,ϱ}(q)) 是正无限可分分布的拉普拉斯变换。