[论文解读] Infinite families of $2$-designs from two classes of binary cyclic codes with three nonzeros

Xiaoni Du, Rong Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

graph theory and CDMA systems参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文从两类具有三个非零元的二元循环码中构造出无限多组 2-设计：一类与三误码纠正 BCH 码相关，另一类与广义 Kasami 情况码相关。通过确定其重量分布并证明其仿射不变性，作者明确推导出 2-设计 的参数，在 m=4 时，BCH 码的对偶码中发现了五个 3-设计。

ABSTRACT

Combinatorial $t$-designs have been an interesting topic in combinatorics for decades. It is a basic fact that the codewords of a fixed weight in a code may hold a $t$-design. Till now only a small amount of work on constructing $t$-designs from codes has been done. In this paper, we determine the weight distributions of two classes of cyclic codes: one related to the triple-error correcting binary BCH codes, and the other related to the cyclic codes with parameters satisfying the generalized Kasami case, respectively. We then obtain infinite families of $2$-designs from these codes by proving that they are both affine-invariant codes, and explicitly determine their parameters. In particular, the codes derived from the dual of binary BCH codes hold five $3$-designs when $m=4$.

研究动机与目标

• 确定两类具有三个非零元的二元循环码的重量分布：一类来自三误码纠正 BCH 码，另一类来自广义 Kasami 情况码。
• 证明这些码具有仿射不变性，从而可利用其码字构造 t-设计。
• 显式计算从这些循环码的扩展对偶码中导出的 2-设计 的参数。
• 研究当 m=4 时，BCH 码的扩展对偶码中是否存在 3-设计 及其结构。
• 通过利用具有三个非零元的循环码及其重量分布，扩展已知的从线性码构造 t-设计 的方法。

提出的方法

• 使用高斯和与特征和技巧，推导出第一类码的重量分布，特别分析了在 $ \text{GF}(2^m) $ 中 $ \beta \neq 0 $ 时的指数和 $ S(a,b,c) = \frac{1}{2} \times \text{Tr}_1^m(a\beta^5 + b\beta^3 + c\beta) $。
• 利用 Pless 幂矩恒等式求解重量枚举多项式系数 $ A_i $，得到所有非零重量的显式公式。
• 通过验证其定义集在分量逐项偏序 $ \trianglelefteq $ 下封闭，证明扩展对偶码 $ \bar{\text{C}_1^\bot} $ 和 $ \bar{\text{C}_2^\bot} $ 具有仿射不变性。
• 应用定理 3，该定理保证仿射不变码可从任意固定非零重量的码字支撑中生成 2-设计。
• 利用设计恒等式推导出的关系 $ b = \frac{1}{\binom{k}{2}} \times \binom{v}{2} \times \frac{A_k}{\text{每类块的块数}} $，计算每个 2-设计 的块数。
• 通过验证特定重量码字的支撑形成具有 $ \binom{v}{3} \times \text{常数} $ 个块的 3-设计，确认在 $ m=4 $ 时 $ \bar{\text{C}_1^\bot} $ 中存在 3-设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有三个非零元的三误码纠正二元 BCH 码的对偶码中，固定重量的码字是否构成 2-设计？
• RQ2 能否使用特征和方法完全确定具有三个非零元的二元循环码的重量分布？
• RQ3 在什么条件下，具有三个非零元的二元循环码的扩展对偶码会生成 2-设计？
• RQ4 当 $ m=4 $ 时，三误码纠正 BCH 码的扩展对偶码中是否存在 3-设计？
• RQ5 能否系统地从与广义 Kasami 情况相关的循环码中构造出无限多组 2-设计？

主要发现

• 第一类码（与三误码纠正 BCH 码相关）的重量分布被完全确定，得到七种不同的非零重量：$ 2^{2s-1} $，$ 2^{2s-1} \backslashpm 2^{s-1} $，$ 2^{2s-1} \backslashpm 2^s $，以及 $ 2^{2s-1} \backslashpm 2^{s+1} $。
• 重量为 $ 2^{2s-1} $ 的码字数量为 $ 29 \times 2^{6s-6} - 33 \times 2^{4s-6} + 17 \times 2^{2s-4} - 1 $。
• 重量为 $ 2^{2s-1} - 2^{s-1} $ 的码字数量为 $ \frac{1}{15}(3 \times 2^{6s} + 3 \times 2^{5s} + 5 \times 2^{4s} + 5 \times 2^{3s} - 2^{2s+3} - 2^{s+3}) $。
• 扩展对偶码 $ \bar{\text{C}_1^\bot} $ 具有仿射不变性，确保任意固定非零重量码字的支撑形成 2-设计。
• 当 $ m=4 $ 时，码 $ \bar{\text{C}_1^\bot} $ 包含五个不同的 3-设计，该结论由重量分布与设计参数验证确认。
• 第二类码（广义 Kasami 情况）也通过相同的仿射不变性与重量分布方法，生成无限多组 2-设计，其参数已显式计算。