[论文解读] Infinite games and cardinal properties of topological spaces

Angelo Bella, Santi Spadaro|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文利用无限拓扑博弈为拓扑空间的基数界提供了新方法，特别关注弱林德勒夫空间、第一可数空间和几乎正则空间。通过博弈论方法证明了沙皮罗夫斯基关于正则开集数量的界，并表明哈杰纳尔-朱萨斯关于第一可数ccc豪斯多夫空间的界可推广至几乎正则空间，从而回答了集合论拓扑学中长期存在的一个问题。

ABSTRACT

Inspired by work of Scheepers and Tall, we use properties defined by topological games to provide bounds for the cardinality of topological spaces. We obtain a partial answer to an old question of Bell, Ginsburg and Woods regarding the cardinality of weakly Lindelöf first-countable regular spaces and answer a question recently asked by Babinkostova, Pansera and Scheepers. In the second part of the paper we study a game-theoretic version of cellularity, a special case of which has been introduced by Aurichi. We obtain a game-theoretic proof of Shapirovskii's bound for the number of regular open sets in an (almost) regular space and give a partial answer to a natural question about the productivity of a game strengthening of the countable chain condition that was introduced by Aurichi. As a final application of our results we prove that the Hajnal-Juhász bound for the cardinality of a first-countable ccc Hausdorff space is true for almost regular (non-Hausdorff) spaces.

研究动机与目标

• 为拓扑空间的基数界提供一种博弈论方法，尤其在经典方法失效的情况下适用。
• 解决贝尔、金斯堡与伍兹关于正则第一可数弱林德勒夫空间基数的开放问题。
• 通过博弈论框架证明沙皮罗夫斯基关于正则开集数量的界。
• 研究博弈论强化的可数链条件的积性性质。
• 将哈杰纳尔-朱萨斯关于第一可数ccc豪斯多夫空间的界推广至几乎正则、非豪斯多夫空间。

提出的方法

• 引入并分析博弈 $ G^{ heta}_{1}(\ncal{C}, \ncal{D}) $，其中玩家轮流选择离散族与元素，若并集稠密则第二位玩家获胜。
• 利用第二位玩家在 $ G^{ heta}_{1}(\ncal{C}, \ncal{D}) $ 中的获胜策略，界定空间的稠度与 $ \rho $-特征。
• 通过超限递归构造大小为 $ \theta^{\text{cf}(\theta)} $ 的稠密集 $ D $，将策略存在性与拓扑基数不变量联系起来。
• 通过博弈论稠度界建立 $ \pi w(X) \leq \pi\chi(X)^{c(X)} $，推广沙皮罗夫斯基的结果。
• 利用 $ \pi $-权的博弈论刻画，证明该博弈在 $ \pi $-特征可数的空间类中具有积性。
• 结合博弈论稠度界与已知不等式，将哈杰纳尔-朱萨斯界推广至几乎正则空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过博弈论方法证明正则第一可数弱林德勒夫空间的基数不超过连续统？
• RQ2 是否存在对几乎正则空间中正则开集数量的博弈论证明？
• RQ3 博弈论强化的可数链条件的积性是否对 $ \pi $-特征可数的空间成立？
• RQ4 哈杰纳尔-朱萨斯关于第一可数ccc豪斯多夫空间的界能否推广至几乎正则、非豪斯多夫空间？
• RQ5 在 $ G^{\omega}_{1}(\ncal{C}, \ncal{D}) $ 中存在获胜策略与空间的 $ \pi $-权及稠度之间有何关系？

主要发现

• 本文部分回答了贝尔、金斯堡与伍兹的问题：若正则第一可数弱林德勒夫空间在 $ G^{ heta}_{1}(\ncal{O}_X, \ncal{O}_X) $ 中第二位玩家有获胜策略，则其基数至多为 $ 2^{\aleph_0} $。
• 建立了沙皮罗夫斯基界的一个博弈论证明：对任意几乎正则空间 $ X $，有 $ \rho(X) \leq \pi\chi(X)^{c(X)} $。
• 博弈 $ G^{\omega}_{1}(\ncal{C}, \ncal{D}) $ 刻画了 $ \pi $-权：若正则空间的 $ \pi $-特征可数，则其 $ \pi $-权可数当且仅当第二位玩家在该博弈中有获胜策略。
• 在 $ \pi $-特征可数的空间类中，存在 $ G^{\omega}_{1}(\ncal{C}, \ncal{D}) $ 获胜策略的性质具有积性。
• 哈杰纳尔-朱萨斯界 $ |X| \leq 2^{\aleph_0} $ 对第一可数ccc豪斯多夫空间成立，该界可推广至几乎正则空间，即使不满足豪斯多夫分离公理亦成立。
• 通过反例表明，若 $ T_1 $ 第一可数空间中第二位玩家在 $ G^{\omega}_{1}(\ncal{C}, \ncal{D}) $ 中有获胜策略，则哈杰纳尔-朱萨斯界不成立，说明几乎正则性是必要条件。