[论文解读] Infinite graphic matroids Part I

Nathan Bowler, Johannes Carmesin+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2013

Interconnection Networks and Systems参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文证明，一个无限拟阵是图形拟阵当且仅当它能通过图型拓扑空间表示，从而将图灵对有限图形拟阵的刻画推广至无限情形。主要贡献在于通过表示空间中的拓扑与拟阵理论分析，证明在3-连通图形拟阵中，每个圈都是可数的。

ABSTRACT

An infinite matroid is graphic if all of its finite minors are graphic and the intersection of any circuit with any cocircuit is finite. We show that a matroid is graphic if and only if it can be represented by a graph-like topological space: that is, a graph-like space in the sense of Thomassen and Vella. This extends Tutte's characterization of finite graphic matroids. The representation we construct has many pleasant topological properties. Working in the representing space, we prove that any circuit in a 3-connected graphic matroid is countable.

研究动机与目标

• 将图灵对有限图形拟阵的刻画推广至无限情形。
• 通过拟阵的良态性及有限圈-余圈交集，定义并刻画无限图形拟阵。
• 利用图型空间建立图形拟阵的拓扑表示。
• 通过拓扑与拟阵结构，证明3-连通图形拟阵中圈的可数性。
• 表明良态性在无限情形下对良好行为的表示与对偶性是必要的。

提出的方法

• 将无限拟阵定义为：所有有限余子式均为图形的，且圈与余圈交集有限（即良态性）。
• 使用托马森与韦拉意义上的图型空间对拟阵进行拓扑表示。
• 应用拓扑性质——如圈的紧致性与割的有限性——以强制实现良态性并指导证明。
• 构造一种表示，使得圈对应于拓扑圆周，余圈对应于拓扑割。
• 利用切换序列及基本圈/余圈分析连通性与可数性。
• 通过邻域分解与切换序列的归纳法证明圈的可数性。

实验结果

研究问题

• RQ1 图灵对有限图形拟阵的刻画能否推广至无限拟阵？
• RQ2 何种拓扑空间结构可实现对无限图形拟阵的忠实表示？
• RQ3 为何良态性——特别是圈与余圈交集的有限性——对表示性是必要的？
• RQ4 3-连通无限图形拟阵中的圈是否必然可数？
• RQ5 表示空间的拓扑如何约束拟阵的结构？

主要发现

• 一个无限拟阵是图形拟阵当且仅当它能通过图型拓扑空间表示。
• 在3-连通图形拟阵中，每个圈都是可数的，该结论通过表示空间中的拓扑与拟阵理论分析得以证明。
• 仅在良态性条件下，薄和可表示拟阵类才表现良好，这为图形拟阵的定义中包含良态性提供了合理性。
• 在表示空间中，圈与余圈分别表现如拓扑圆周与割，这是由紧致性与有限性约束所致。
• 在诱导出图形拟阵的3-连通图型空间中，任意伪弧的边集都是可数的，该结论通过邻域分解得以证明。
• 存在良态且平面有限余子式型的拟阵，但由于在某些顶点处局部拓扑不可数，故不能嵌入平面。