[论文解读] Infinite J-matrices and a matrix moment problem

M. Krein|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 1被引用 98

一句话总结

本论文发展了自包含的正则 J_p 矩阵（p>1）的理论，并将其与矩阵矩量问题联系起来，包括解的存在性、唯一性，以及通过矩阵函数的参数化。它扩展 Krein 早期关于具有缺陷指标的厄米算符的工作，并为相关的矩阵多项式和解析表示之间的关系提供构造。

ABSTRACT

This is a translation of a paper that appeared (in Russian) in Dokl. Akad. Nauk SSSR 69, nr 2 (1949), 125-128.

研究动机与目标

• 将无穷正则 J_p 矩阵作为向量值边值问题的代数模型进行研究的动机。
• 将正则 J_p 矩阵与矩阵矩量问题联系起来并确立基础性质。
• 构造并分析与给定 J_p 矩阵相关的矩阵多项式序列。
• 探索矩阵矩量问题及其解的可解性和归一化条件。

提出的方法

• 将正则 J_p 矩阵定义为具有三带对角块结构的无限厄米矩阵，且非对角块 A_{i,i+1} 拒绝奇异。
• 通过带有 D_{-1}=0 和 D_0(λ) 为任意非奇异的三项递推关系，引入矩阵多项式序列 D_k(λ)。
• 给出极限 H(z) = lim_{n→∞} (sum_{k=0}^n D_k^*(z̄) D_k(z))^{-1} 的存在性并将其秩 r(z) 与相关厄米算符 A 的缺陷指标 ν_+ 和 ν_- 联系起来。
• 证明任意次数为 n 的多项式 P(λ) 可以表示为 P(λ)=sum_{k=0}^n U_k D_k(λ) 并定义一个具有双线性性质的形式 {P,Q}。
• 建立矩阵矩量问题 S_n = ∫ λ^n dT(λ) 及其通过形式 {S_n} 的正性与相关不变量来判定可解性。
• 给出唯一归一化解 T(λ) 的条件，并在 ν_+ = ν_- = p 时刻画所有归一化解的集合，包括解析矩阵函数表示和全纯矩阵函数参数化。
• 将 A 的自伴扩张与单位矩阵相关联，并将它们的谱与通过构造的 G_1、G_2 与 V(z) 的行列式条件的零点联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 正则 J_p-矩阵所对应算子的缺陷指标与矩阵矩量问题的可解性之间的精确关系是什么？
• RQ2 如何利用矩阵多项式 D_k(λ) 构造和分析矩阵矩量问题的解？
• RQ3 在何种条件下矩阵矩量问题具有唯一解，当 ν_+ = ν_- = p 时，如何参数化归一化解？
• RQ4 上半平面内的全纯 p×p 矩阵函数如何参数化矩阵矩量问题的所有归一化解？
• RQ5 自伴扩张与通过 G_1、G_2 与 V(z) 的行列式条件确定的谱之间有什么联系？

主要发现

• H(z) 的秩 r(z) 在上半平面和下半平面内保持常数，从而界定缺陷指标 ν_+ 和 ν_-，并表征算符的扩张。
• 当且仅当其中一个缺陷指标为零时，矩阵矩量问题具有唯一的归一化解 T(λ)。
• 当 ν_+ = ν_- = p 时，存在逆 H^{-1}(z) 且成立界：T(ξ+0)−T(ξ−0) ≤ H^{-1}(ξ)。
• 若 ν_+ = ν_- = p，则每个归一化解 T(λ) 与上半平面中一个半正定的 holomorphic p×p 矩阵函数 V(z) 之间存在一一对应关系，且 ∥V(z)∥ ≤ 1，借助一种特定的矩阵-函数恒等式实现。
• 任何自伴扩展的谱都对应 det[G_1(z)(I+U)+iG_2(z)(I−U)]=0 的根，其中 U 为单位矩阵。
• 构造涉及由 E_k 和 D_k 构成的整矩阵函数 F_1、F_2、G_1、G_2，用以表达 T(λ) 的准解表示法与解的解析型结构。