[论文解读] Infinite many Blow-up solutions for a Schrödinger quasilinear elliptic problem with a non-square diffusion term

Carlos Alberto Santos, Jiazheng Zhou|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过双变分方法和对势函数振荡的细致分析，建立了在 $\mathbb{R}^N$ 上具有非平方扩散项的拟线性薛定谔型椭圆方程存在无穷多组爆破解。关键结果表明，在系数 $a(x)$ 满足适当的衰减与振荡条件，且 $g$ 非增时，该问题存在不可数无穷多组在无穷远处爆破的正解。

ABSTRACT

In this paper, we consider existence of positive solutions for the Schrödinger quasilinear elliptic problem $$ \left\{ \begin{array}{l} Δ_pu+Δ_p(|u|^{2γ})|u|^{2γ-2}u = a(x)g(u)~ \mbox{on}~ \mathbb{R}^N,\\ u>0\ \mbox{in}~\mathbb{R}^N,\ u(x)\stackrel{\left|x ight| ightarrow \infty}{\longrightarrow} \infty, \end{array} ight. $$ where $a(x), ~x\in \mathbb{R}^N$ and $g(s)~s>0$ are a nonnegative and continuous functions with $g$ being nonincreasing as well, $γ>{1}/{2}$, and $N \geq 1$. By a dual approach we establish sufficient conditions for existence and multiplicity of solutions for this problem.

研究动机与目标

• 建立 $\mathbb{R}^N$ 上具有非平方扩散项的拟线性薛定谔方程正解的存在性与多重性。
• 解决此类具有非平方扩散项的拟线性问题中爆破解结果缺乏的问题。
• 将先前针对半线性和径向情形的存在性结果推广至具有广义非增非线性项 $g$ 的拟线性、非径向情形。
• 刻画势函数 $a(x)$ 的振荡（通过 $a_{\text{osc}}(r) = \overline{a}(r) - \underline{a}(r)$ 定义）在实现解的无穷多重性中的作用。
• 发展一种双变分框架，以处理由 $\Delta_p(|u|^{2\gamma})|u|^{2\gamma-2}u$ 引起的非凸、非标准扩散结构。

提出的方法

• 通过将原问题转化为涉及新未知函数 $w = f(u)$ 的等价双形式，采用双变分方法，其中 $f$ 为合适的微分同胚。
• 在问题的径向结构及势函数 $a(x)$ 的径向对称性假设下，定义 $w_{\alpha}(r)$ 为变换后常微分方程的径向解。
• 引入振荡函数 $a_{\text{osc}}(r) = \overline{a}(r) - \underline{a}(r)$，以量化偏离径向对称性的程度，并控制球面上 $a(x)$ 上下界之间的差异。
• 在扩张球体 $B_n(0)$ 上使用上下解技术，构造逼近解序列 $w_n$，其收敛于全局解 $w \in C^1(\mathbb{R}^N)$。
• 在 Keller-Osserman 型条件下，利用涉及 $\overline{a}(t)$ 和函数 $\mathcal{G}(t) = \int_1^t \frac{ds}{g(s)^{1/(p-1)}}$ 的逆函数的积分估计，建立 $w_{\alpha}(r)$ 的逐点界。
• 通过反证法证明：对任意 $\alpha > \mathcal{A}$ 和 $\epsilon > 0$，存在解 $w$ 满足当 $|x| \to \infty$ 时 $w(x) \to \infty$，即通过分析积分 $\overline{H} = \int_0^\infty \mathcal{H}(s) \, ds$ 的性质，证明解分支可延伸至无穷。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $a(x)$ 与 $g(u)$ 条件下，具有非平方扩散项的拟线性薛定谔方程会存在在无穷远处爆破的正解？
• RQ2 势函数 $a(x)$ 的振荡（通过 $a_{\text{osc}}(r)$ 衡量）如何影响爆破解的存在性与多重性？
• RQ3 双变分方法能否被调整以处理形如 $\Delta_p(|u|^{2\gamma})|u|^{2\gamma-2}u$（$\gamma > 1/2$）的非凸、非标准扩散项？
• RQ4 即使 $a(x)$ 不具有径向对称性，是否仍可构造出不可数无穷多组不同的正解？
• RQ5 Keller-Osserman 型积分条件 $\int_1^\infty \frac{dt}{g(t)^{1/(p-1)}} = \infty$ 在确保爆破解存在性方面起何作用？

主要发现

• 当势函数 $a(x)$ 满足 $\int_0^\infty r a_{\text{osc}}(r) \exp(\underline{A}(r)) \, dr < \infty$ 时，其中 $\underline{A}(r) = \int_0^r s \underline{a}(s) \, ds$，该问题存在无穷多组在无穷远处爆破的正解。
• 对任意 $\alpha > \mathcal{A}$，存在解 $w_{\alpha}$，使得对所有充分大的 $r$，有 $w_{\alpha}(r) \leq \mathcal{G}^{-1}\left(r \left(\int_0^r \overline{a}(t) \, dt\right)^{1/p - 1}\right)$。
• 在条件 $\int_0^\infty \mathcal{H}(s) \, ds \leq \overline{H} < \infty$ 下，解族 $w_{\alpha}$（$\alpha > \mathcal{A}$）可被延拓至无穷，从而保证存在解 $w$ 满足当 $|x| \to \infty$ 时 $w(x) \to \infty$。
• 通过改变初始参数 $\alpha > \mathcal{A}$，构造出不可数无穷多组不同的解，从而实现爆破解的无穷多重性。
• 证明依赖于反证法：若 $S(\beta_0) < \infty$，则 $\beta_0 \leq \alpha + \overline{H}$，但这与 $\beta_0 > \alpha + \overline{H}$ 矛盾，故必有 $S(\beta_0) = \infty$。
• 该方法成功处理了非凸、非平方扩散项，通过将问题转化为双变量框架，使比较原理与积分估计得以应用。