[论文解读] Infinite matroid union

Elad Aigner‐Horev, Johannes Carmesin+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用 17

一句话总结

本文证明了两个近乎有限型拟阵的并集仍为拟阵，提出了一类新的无限拟阵，其推广了有限型拟阵。证明了近乎有限型拟阵本质上是满足并集定理的最大类，并将基打包与覆盖定理推广至余有限型拟阵，从而为Diestel与Tutte关于无限图的树打包结果提供了拟阵理论的证明。

ABSTRACT

We consider the problem of determining whether the union of two infinite matroids is a matroid. We introduce a superclass of the finitary matroids, the nearly finitary matroids, and prove that the union of two nearly finitary matroids is a nearly finitary matroid. On the other hand, we prove that the union of two arbitrary infinite matroids is not necessarily a matroid. Indeed, we show (under a weak additional assumption) that the nearly finitary matroids are essentially the largest class of matroids for which one can have a union theorem. We then extend the base packing theorem for finite matroids to finite families of co-finitary matroids. This, in turn, yields a matroidal proof for the tree-packing results for infinite graphs due to Diestel and Tutte.

研究动机与目标

• 确定两个无限拟阵的并集构成拟阵的条件。
• 识别出满足并集定理的无限拟阵的最大可能类。
• 将有限拟阵定理（尤其是基打包与覆盖定理）推广至无限情形，特别是余有限型拟阵。
• 为无限图的树打包结果提供拟阵理论的证明。

提出的方法

• 引入近乎有限型拟阵的概念：即其有限化中每个基与原拟阵的基仅相差有限对称差。
• 证明两个近乎有限型拟阵的并集仍为近乎有限型拟阵，从而为该类建立了并集定理。
• 利用相对秩与有限化闭包性质，将基打包定理推广至有限个余有限型拟阵的情形。
• 通过反证法与有限子结构，应用有限拟阵的并集定理，推导出有限拟阵的基覆盖定理。
• 通过构造与圈相交的独立集，证明当近乎有限型条件不满足时，并集不再构成拟阵。
• 利用对偶性及有限型与余有限型拟阵的结构，将有限拟阵定理推广至无限情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个无限拟阵的并集本身构成拟阵？
• RQ2 近乎有限型拟阵类是否在并集定理性质下是极大的？
• RQ3 有限拟阵的基打包定理能否推广至无限拟阵？若能，其条件为何？
• RQ4 有限型与余有限型结构在实现此类推广中起何作用？
• RQ5 能否使用拟阵理论工具重新证明无限图的结果，如树打包定理？

主要发现

• 两个近乎有限型拟阵的并集是近乎有限型拟阵，为该类建立了稳健的并集定理。
• 近乎有限型拟阵类本质上是最大的：任何不属于此类的拟阵若被加入有限型拟阵类，则会破坏并集定理。
• 对每个满足弱条件的非近乎有限型拟阵 $ N $，存在一个有限型拟阵 $ M $，使得 $ \bigcup \big( \text{Ind}(M) \times \text{Ind}(N) \big) $ 不构成拟阵。
• 通过相对秩与闭包性质，将基打包定理推广至有限个余有限型拟阵的情形。
• 证明了有限拟阵的基覆盖定理：一个有限拟阵可被 $ k $ 个独立集覆盖，当且仅当对所有有限子集 $ X \subseteq E(M) $，有 $ \operatorname{rk}_M(X) \geq |X|/k $。
• 本研究结果为Diestel与Tutte关于无限图的树打包定理提供了拟阵理论的证明，其核心是推广后的基打包定理。