[论文解读] Infinite quantum signal processing

Yulong Dong, Lin Lin+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了无限量子信号处理（IQSP），这是对量子信号处理的推广，通过 ℓ¹ 空间中的相位因子表示非多项式函数。证明了当切比雪夫系数的 ℓ¹ 范数有界时，相位因子收敛，并提出了一种使用双精度算术的数值稳定定点算法，该算法在高次逼近下具有可证明的收敛性。

ABSTRACT

Quantum signal processing (QSP) represents a real scalar polynomial of degree $d$ using a product of unitary matrices of size $2 imes 2$, parameterized by $(d+1)$ real numbers called the phase factors. This innovative representation of polynomials has a wide range of applications in quantum computation. When the polynomial of interest is obtained by truncating an infinite polynomial series, a natural question is whether the phase factors have a well defined limit as the degree $d o \infty$. While the phase factors are generally not unique, we find that there exists a consistent choice of parameterization so that the limit is well defined in the $\ell^1$ space. This generalization of QSP, called the infinite quantum signal processing, can be used to represent a large class of non-polynomial functions. Our analysis reveals a surprising connection between the regularity of the target function and the decay properties of the phase factors. Our analysis also inspires a very simple and efficient algorithm to approximately compute the phase factors in the $\ell^1$ space. The algorithm uses only double precision arithmetic operations, and provably converges when the $\ell^1$ norm of the Chebyshev coefficients of the target function is upper bounded by a constant that is independent of $d$. This is also the first numerically stable algorithm for finding phase factors with provable performance guarantees in the limit $d o \infty$.

研究动机与目标

• 探究在逼近无穷级数时，当多项式次数 d → ∞，量子信号处理中的相位因子是否具有明确定义的极限。
• 建立相位因子在 ℓ¹ 空间中对非多项式目标函数收敛的条件。
• 开发一种数值稳定、高效的算法，用于在无穷次极限下计算相位因子，并提供可证明的收敛性保证。
• 探讨目标函数的正则性与相位因子衰减特性之间的关系。
• 通过量子奇异值变换，实现对平滑非多项式函数的实际量子算法。

提出的方法

• 将量子信号处理推广至 ℓ¹ 空间中的无限相位因子序列，确保在切比雪夫系数的 ℓ¹ 范数有界时实现收敛。
• 使用定点迭代算法（算法1）计算相位因子，依赖双精度算术，并在 ‖c‖₁ ≤ r_c 条件下实现可证明收敛。
• 分析导数矩阵 DF 的结构及其在 ℓ¹ 空间中的可逆性，以确立解的存在性与唯一性。
• 采用切比雪夫多项式展开表示平滑函数，并将其系数衰减与相位因子衰减相关联。
• 应用巴拿赫空间理论和矩阵范数估计，证明定点方法的收敛性与稳定性。
• 通过目标函数如 |x|³ 及 f_even 和 f_odd 的奇偶分量进行数值验证，与现有求解器进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，量子信号处理中的相位因子在多项式次数 d → ∞ 时收敛？
• RQ2 能否定义一种一致的相位因子参数化方式，使得非多项式函数的极限在 ℓ¹ 空间中存在？
• RQ3 目标函数的正则性与对应相位因子衰减速率之间存在何种关系？
• RQ4 能否构建一种数值稳定、可证明收敛的算法，用于在无穷次极限下计算相位因子？
• RQ5 所提出的定点算法在速度和精度方面与 QSPPACK 等现有方法相比表现如何？

主要发现

• 当目标函数的切比雪夫系数的 ℓ¹ 范数被一个与 d 无关的常数所限制时，相位因子在 ℓ¹ 空间中收敛。
• 定点迭代算法在相同的 ℓ¹ 范数条件下可证明收敛，且在双精度算术下运行，CPU 时间随 τ² 缩放，其中 τ 为截断次数。
• 收敛所需的迭代次数稳定且与 τ 无关，对于 τ 最大达 1000 时，通常在 14 至 16 次之间。
• 相位因子的衰减与切比雪夫系数的衰减密切相关，表明函数光滑性与相位因子稀疏性之间存在强关联。
• 数值实验表明，该算法在速度上优于 QSPPACK，并且即使在 τ 较大时仍能保持高精度（ε = 10⁻¹²）。
• 当 ℓ¹ 范数超过理论边界时（例如 τ = 3.2332），该方法仍有效，表明该条件可能具有松弛空间。