[论文解读] Infinite symmetric group and combinatorial descriptions of semigroups of double cosets

Yury A. Neretin|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文为无限对称群 $\mathbb{S}_\infty$ 及其半直积中的双陪集半群建立了一个组合框架，利用带颜色的多边形曲面、小芯片和图。通过几何粘合运算，明确描述了这些半群中的乘法，并将其与表示理论和球函数联系起来，推广了关于无限维群的早期结果。

ABSTRACT

We show that double cosets of the infinite symmetric group with respect to some special subgroups admit natural structures of semigroups. We interpret elements of such semigroups in combinatorial terms (chips, colored graphs, two-dimensional surfaces with polygonal tiling) and describe explicitly the multiplications.

研究动机与目标

• 为无限对称群及其半直积的双陪集 $K\setminus G/K$ 提供组合结构的描述。
• 将双陪集的可乘性定理推广至紧致子群之外，扩展无限维表示理论中的已知结果。
• 在这些双陪集与带边界数据的带符号、带颜色的多边形复形等几何对象之间建立一一对应关系。
• 将这些组合结构与表示理论联系起来，特别是球函数和张量积构造。
• 统一并扩展关于 $\mathbb{S}_\infty$ 及相关群的列车、态射和球函数的先前工作。

提出的方法

• 将双陪集 $K^\alpha\setminus G/K^\beta$ 表示为带符号多边形、带颜色的边和对应于 $\alpha$ 和 $\beta$ 的边界标签的紧致、定向、多边形镶嵌曲面。
• 通过沿匹配边界边进行一致定向和标记的粘合态射来定义双陪集的乘法。
• 使用着色、旋律（循环标记）和气味（多边形上的标签）等组合数据来编码群元素及其乘积。
• 从这些态射构造一个列车范畴，其中复合由边粘合给出，粘合后移除包络。
• 通过在边上对标准正交基向量赋值的求和来定义球函数，多边形上内积的乘积编码矩阵系数。
• 将该框架应用于 $G = \mathbb{S}_\infty^p$ 和 $K = \mathbb{S}_\infty^{\infty}$，使用矩阵 $Z$ 参数化组合结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为 $G = \mathbb{S}_\infty^p$ 及某些子群 $K$ 的双陪集 $K\setminus G/K$ 赋予自然的半群结构？
• RQ2 哪些组合对象（例如图、曲面、镶嵌）与这类双陪集半群的元素一一对应？
• RQ3 半群乘法如何在几何上实现，且是否与表示理论中的代数复合一致？
• RQ4 能否使用这些组合模型显式计算诱导表示的球函数？
• RQ5 贝利型数据和三角剖分在将这些构造与 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的代数曲线联系起来方面起什么作用？

主要发现

• 双陪集 $K^\alpha\setminus G/K^\beta$ 与带符号多边形、带颜色的边和带标签边界的紧致、定向、多边形镶嵌曲面之间存在一一对应关系。
• 双陪集的乘法对应于沿匹配边界边进行一致定向和标记的粘合态射，产生一个良定义的结合运算。
• 该构造推广了小芯片模型及 1-和 2-边形，其中 2-边形产生链状结构，1-边形产生三部件类型。
• 球函数通过在边上对标准正交基向量赋值的求和显式计算，多边形上内积的乘积编码矩阵系数。
• 该框架包含贝利型数据：在具有 0、1、∞ 处分支的黎曼曲面上的三角剖分，对应于 $Z = (1,1,1)^T$，$\Lambda = 0$，并与定义在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的曲线相关联。
• 对于小芯片模型，球函数公式简化为矩阵乘积的迹计算，与已知的有限维情形一致。