[论文解读] Infinite Synchronizing Words for Probabilistic Automata (Erratum)

Laurent Doyen, Thierry Massart+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2012

semigroups and automata theory参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文通过从概率自动机的不可判定值1问题进行约化，纠正了先前关于概率自动机中弱同步语言的空性问题的错误判定性声明，证明其为不可判定。该结果推翻了早期的判定性结论，并确立了在无限词上分析概率自动机同步性时的根本不可判定性。

ABSTRACT

In [1], we introduced the weakly synchronizing languages for probabilistic automata. In this report, we show that the emptiness problem of weakly synchronizing languages for probabilistic automata is undecidable. This implies that the decidability result of [1-3] for the emptiness problem of weakly synchronizing language is incorrect.

研究动机与目标

• 纠正先前关于概率自动机弱同步语言的错误判定性声明。
• 确立概率自动机中弱同步语言空性问题的不可判定性。
• 证明概率自动机的值1问题可约化为弱同步语言的空性问题。
• 阐明在无限词上分析概率系统同步性的理论极限。

提出的方法

• 从给定的概率自动机 B 构造一个概率自动机 A，使得 B 的值为 1 当且仅当 A 的值为 1。
• 基于 A 构造一个新的概率自动机 C，引入双状态结构和特殊符号 #，以模拟周期性重置。
• 通过状态分布范数的上极限定义弱同步，其中范数表示任意状态的最大概率。
• 利用 C 的结构确保弱同步仅在原始自动机 A 能够实现任意高的接受概率时发生。
• 证明 C 中任意弱同步词必须包含无限多个 # 和 $ 符号，强制将分布周期性重置为初始分布。
• 证明 C 中的弱同步意味着 A 中存在接受概率可任意接近 1 的词，即 A 的值为 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 概率自动机中弱同步语言的空性问题是否可判定？
• RQ2 概率自动机的值1问题能否约化为弱同步语言的空性问题？
• RQ3 概率自动机需满足何种结构特性，才能存在弱同步的无限词？
• RQ4 在词中存在无限多个 # 和 $ 符号是否能保证构造出的自动机 C 中的弱同步？
• RQ5 弱同步能否用于刻画概率自动机中的值1问题？

主要发现

• 概率自动机中弱同步语言的空性问题是不可判定的。
• 该不可判定性通过从不可判定的值1问题出发的多一约化得以确立。
• 构造了一个概率自动机 C，使得其弱同步语言非空当且仅当原始自动机 A 的值为 1。
• C 中的弱同步词必须包含无限多个 # 和 $ 符号，从而确保周期性重置到初始分布。
• 在 C 中，沿弱同步词的路径，状态分布的范数趋近于 1，意味着 A 中的接受概率可被任意逼近于 1。
• 该结果推翻了先前关于概率自动机中弱同步语言空性问题判定性的错误声明。