[论文解读] Infinite time blow-up for the fractional heat equation with critical exponent

Monica Musso, Yannick Sire+3 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用 3

一句话总结

该论文通过一种新颖的内外粘合方法，建立了有界域中临界指数分数次热方程无限时间爆破解的存在性。证明了对于任意有限个互异的内部点，存在一个初始条件，使得解在时间趋于无穷时在这些点处集中，且爆破速率随时间多项式衰减。

ABSTRACT

We consider positive solutions for the fractional heat equation with critical exponent \begin{equation*} \begin{cases} u_t = -(-Δ)^{s}u + u^{\frac{n+2s}{n-2s}} ext{ in } Ω imes (0, \infty), u = 0 ext{ on } (\mathbb{R}^n\setminus Ω) imes (0, \infty), u(\cdot, 0) = u_0 ext{ in }\mathbb{R}^n, \end{cases} \end{equation*} where $Ω$ is a smooth bounded domain in $\mathbb{R}^n$, $n > 4s$, $s\in (0, 1)$, $u:\mathbb{R}^n imes [0, \infty) o \mathbb{R}$ and $u_0$ is a positive smooth initial datum with $u_0|_{\mathbb{R}^n\setminus Ω} = 0$. We prove the existence of $u_0$ such that the solution blows up precisely at prescribed distinct points $q_1,\cdots, q_k$ in $Ω$ as $t o +\infty$. The main ingredient of the proofs is a new inner-outer gluing scheme for the fractional parabolic problems.

研究动机与目标

• 建立有界域中临界非线性分数次热方程无限时间爆破解的存在性。
• 将经典无限时间爆破现象从局部情形（$ s=1 $）推广至非局部分数次情形（$ 0 < s < 1 $）。
• 构造在 $ t \to \infty $ 时精确集中于域内 $ k $ 个指定互异点的解。
• 开发一种专为具有临界增长的分数次抛物问题设计的新内外粘合方案。

提出的方法

• 利用形如 $ U_{\nu,\nu}(x) = \alpha_{n,s} \left( \frac{\mu}{\mu^2 + |x - \xi|^2} \right)^{\frac{n-2s}{2}} $ 的分数次调和函数（泡状解）构造近似解，其以指定点为中心。
• 实施一种新的内外粘合方案，以在空间的不同区域匹配内层（爆破）解与外层（正则）解。
• 利用分数次拉普拉斯算子的格林函数 $ G(x,y) $ 及其正则部分 $ H(x,y) $ 来刻画泡状解之间的相互作用。
• 在误差上施加正交性条件，以确保在加权 Hölder 空间中解的可解性。
• 在加权函数空间中应用不动点方法，求解具有受控误差衰减的非线性问题。
• 采用渐近分析与加权估计，控制误差项，并确保当 $ t \to \infty $ 时的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 分数次热方程在有界域中具有临界指数时，是否可能发生无限时间爆破？
• RQ2 在什么条件下，解在 $ t \to \infty $ 时会集中于有限个指定的内部点？
• RQ3 在非局部设定下，是否存在一种稳健的此类爆破解构造方法？
• RQ4 与局部情形相比，分数次情形下无限时间内的爆破速率行为如何？
• RQ5 分数次格林函数及其正则部分在决定爆破轮廓稳定性方面起什么作用？

主要发现

• 对于任意 $ k $ 个互异点 $ q_1, \dots, q_k \in \Omega $，若通过正则部分 $ H $ 和格林函数 $ G $ 定义的矩阵 $ \mathcal{G}(q) $ 为正定，则存在一个解在 $ t \to \infty $ 时在这些点处爆破。
• 解表现出无限时间爆破，满足 $ \mu_j(t) \to 0 $ 且 $ \xi_j(t) \to q_j $ 当 $ t \to \infty $，其中 $ \mu_j(t) \sim \beta_j t^{-1/(n-4s)} $ 对某个 $ \beta_j > 0 $。
• 爆破轮廓渐近接近于以 $ q_j $ 为中心的 $ k $ 个分数次泡状解之和，其衰减速率由维数和分数阶 $ s $ 决定。
• 该构造依赖于一种为分数次拉普拉斯算子的非局部性质及临界指数 $ \frac{n+2s}{n-2s} $ 量身定制的新内外粘合方案。
• 误差估计在加权 Hölder 范数下受控，确保了大时间下不动点方法的收敛性。
• 解的稳定性继承自经典情形，初始数据的小扰动下具有相同的渐近行为。