[论文解读] Infinite time horizon spatially distributed optimal control problems with pde2path algorithms and tutorial examples

Hannes Uecker, Hannes de Witt|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文提出一种基于 pde2path 的数值框架，通过延拓与分岔方法求解抛物型 PDE 的无限时间horizon最优控制问题。该方法结合庞特里亚金最大值原理与两步算法，计算连接初始状态至典型稳态（CSS）或周期态（CPS）的典型路径，展示了在浅层湖泊磷管理、植被动态及边界控制下的污染缓解等生态与经济模型中稳健的收敛性与分岔分析能力。

ABSTRACT

We use the continuation and bifurcation package pde2path to numerically analyze infinite time horizon optimal control problems for parabolic systems of PDEs. The basic idea is a two step approach to the canonical systems, derived from Pontryagin's maximum principle. First we find branches of steady or time-periodic states of the canonical systems, i.e., canonical steady states (CSS) respectively canonical periodic states (CPS), and then use these results to compute time-dependent canonical paths connecting to a CSS or a CPS with the so called saddle point property. This is a (high dimensional) boundary value problem in time, which we solve by a continuation algorithm in the initial states. We first explain the algorithms and then the implementation via some example problems and associated pde2path demo directories. The first two examples deal with the optimal management of a distributed shallow lake, and of a vegetation system, both with (spatially, and temporally) distributed controls. These examples show interesting bifurcations of so called patterned CSS, including patterned optimal steady states. As a third example we discuss optimal boundary control of a fishing problem with boundary catch. For the case of CPS-targets we first focus on an ODE toy model to explain and validate the method, and then discuss an optimal pollution mitigation PDE model.

研究动机与目标

• 开发一种用于求解由分布控制与边界控制驱动的抛物型 PDE 无限时间horizon最优控制问题的计算框架。
• 利用延拓与分岔技术，实现对由庞特里亚金最大值原理导出的典型系统进行数值分析。
• 计算连接初始状态至典型稳态或周期态的时间依赖典型路径，确保满足鞍点性质以保证最优性。
• 在真实世界模型（如湖泊磷管理、植被动态及边界控制下的污染缓解）中验证该方法。
• 通过 ODE 简化模型验证该方法，并展示 ODE 与 PDE 解之间的一致性，特别是在分岔附近。

提出的方法

• 应用庞特里亚金最大值原理，从 PDE 最优控制问题的哈密顿量中推导典型系统。
• 使用 pde2path 通过数值延拓计算典型稳态（CSS）与典型周期态（CPS）的分支。
• 将典型路径（CPs）构造为满足鞍点性质且连接初始状态与 CSS 或 CPS 的时间依赖典型系统解。
• 实施两阶段延拓算法：首先计算 CSS/CPS，然后通过初始状态延拓追踪随截断时间 T 增大而扩展的 CPs。
• 对于 CPS 目标，从较短的 T 开始，通过附加周期解副本以改善收敛性，采用基于容差的延拓策略。
• 使用 pqzschur 将解投影至中心-不稳定特征子空间，这对于处理由扩散与反扩散效应引起的极大与极小特征值至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何高效计算具有分布控制与边界控制的无限时间horizon PDE 最优控制问题的典型路径？
• RQ2 典型稳态与周期态的分岔在决定空间分布系统最优控制策略中起什么作用？
• RQ3 最优控制解中的空间模式如何产生？其与典型系统不稳定性之间有何关系？
• RQ4 基于 ODE 的简化模型能否准确预测 PDE 典型路径的行为，特别是在霍普夫分岔附近？
• RQ5 在高维不稳定流形存在的情况下，何种数值策略可确保典型路径对周期目标的稳健收敛？

主要发现

• 在 ρ=0.55 处，稳定 CSS 的典型路径收敛缓慢，归因于接近霍普夫分岔，最慢衰减率 μ≈0.0059。
• 对于初始条件 (v₀,w₀)=(0.4,0.4)，最优路径的代价函数值为负，J≈−0.1297，源于高初始减排投入与排放减少。
• 对于初始条件 (v₀,w₀)=(0,0)，最优路径的代价函数值为正，J≈0.0202，反映出排放增加与初始减排为负。
• 在 ρ=0.57 处，连接至均匀 CPS 的典型路径在 T≈10Tₚ 时达到最终偏差 ∥u(1)−û₀∥∞≈10⁻⁴，经事后进一步优化可提升至 10⁻⁶。
• 在 ρ=0.56 处，连接至模式化 CPS（h1/pt8）的典型路径初始向 CSS 衰减，随后因 PDE 中弱不稳定性而过渡至非均匀周期态。
• 将目标 CPS 相位偏移半周期，使截断时间 T 约变化半个周期，证实该方法与周期结构的一致性。