[论文解读] Infinite wedge and measures on partitions

Andreĭ Okounkov|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 1999

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 25

一句话总结

本文利用可积系统技巧，为整数分拆上的施图尔测度的相关函数建立了精确公式，表明其为陶夫-塔达格拉斯层次的陶函数。该研究提供了布洛克-奥库诺夫科公式在均匀测度下n点函数的新证明，并通过该框架揭示了典型分拆的局部结构。

ABSTRACT

Using techniques from integrable systems, we obtain a number of exact results for random partitions. In particular, we prove a simple formula for correlation functions of what we call the Schur measure on partitions (which is a far reaching generalization of the Plancherel measure, see math.CO/9905032) and also show that these correlations functions are tau-functions for the Toda lattice hierarchy. Also we give a new proof of the formula due to Bloch and the author, see alg-geom/9712009, for the so called n-point functions of the uniform measure on partitions and comment on the local structure of a typical partition.

研究动机与目标

• 推导整数分拆上施图尔测度相关函数的精确公式。
• 证明这些相关函数是陶夫-塔达格拉斯层次的陶函数。
• 为整数分拆上均匀测度下的布洛克-奥库诺夫科n点函数公式提供新证明。
• 利用所建立的框架分析典型分拆的局部结构。

提出的方法

• 采用可积系统技术，特别是与陶夫-塔达格拉斯层次相关的方法。
• 将施图尔测度定义为整数分拆上普朗切尔测度的推广。
• 利用生成函数和顶点算子形式化推导相关函数。
• 建立相关函数与陶夫-塔达格拉斯层次陶函数之间的对应关系。
• 应用全息-费米子对应关系，将分拆生成函数与费米子福克空间构造联系起来。
• 使用无限楔表示法分析均匀测度及其n点函数的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用可积系统方法显式计算分拆上施图尔测度的相关函数？
• RQ2 这些相关函数是否与已知的孤子方程层次（如陶夫-塔达格拉斯层次）相关？
• RQ3 能否通过新方法重新推导出整数分拆上均匀测度下n点函数的布洛克-奥库诺夫科公式？
• RQ4 通过施图尔测度及其相关函数，典型分拆的局部结构是什么？

主要发现

• 证明了施图尔测度的相关函数为陶夫-塔达格拉斯层次的陶函数，建立了随机分拆与可积系统之间深刻的联系。
• 基于无限楔表示与顶点算子框架，为整数分拆上均匀测度的布洛克-奥库诺夫科n点函数公式提供了新证明。
• 施图尔测度推广了普朗切尔测度，使得通过可积系统技术精确计算相关函数成为可能。
• 通过相关函数的渐近行为刻画了典型分拆的局部结构，揭示了其在体积极限中的普遍特征。