[论文解读] Infinite wedge and random partitions

Andreĭ Okounkov|ArXiv.org|Jul 20, 1999

Random Matrices and Applications参考文献 21被引用 22

一句话总结

本文利用无限楔空间形式化方法，建立了随机分拆与可积系统之间的深刻联系。通过具有围线积分表示的核，推导出Schur测度相关函数的精确行列式公式，证明其满足Toda晶格层次结构的偏微分方程，并利用q-差分方程与θ函数，为均匀测度的n点函数提供了新的概念性证明。

ABSTRACT

Using techniques from integrable systems, we obtain a number of exact results for random partitions. In particular, we prove a simple formula for correlation functions of what we call the Schur measure on partitions (which is a far reaching generalization of the Plancherel measure, see math.CO/9905032) and also show that these correlations functions are tau-functions for the Toda lattice hierarchy. Also we give a new proof of the formula due to Bloch and the author, see alg-geom/9712009, for the so called n-point functions of the uniform measure on partitions and comment on the local structure of a typical partition.

研究动机与目标

• 利用无限楔空间形式化方法，建立随机分拆与可积系统之间的自然联系。
• 推导出分拆上Schur测度相关函数的精确行列式公式。
• 证明Schur测度的相关函数满足Toda晶格层次结构的偏微分方程。
• 为分拆上均匀测度的n点函数提供一种新的、概念性的证明。
• 研究在均匀测度与Schur测度下，大随机分拆的局部结构。

提出的方法

• 使用无限楔空间作为技术框架，将相关函数解释为费米子算符的矩阵元。
• 应用Heisenberg代数与顶点算符（Γ±），通过Jacobi-Trudi恒等式将Schur函数表示为矩阵元。
• 从Schur测度参数的生成函数出发，推导出具有围线积分表示的核K。
• 建立相关函数为以K为核的弗雷德霍姆行列式，从而支持渐近分析。
• 利用Hirota双线性方程与Toda晶格层次结构，推导出相关函数τ-函数所满足的PDE。
• 将q-差分方程应用于均匀测度的n点函数，将其与亏格1的θ函数及其导数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用行列式核表达分拆上Schur测度的相关函数？
• RQ2 Schur测度的相关函数满足何种可积层次结构？
• RQ3 分拆上均匀测度的n点函数如何与θ函数及q-差分方程关联？
• RQ4 在均匀测度下，典型大分拆的局部结构是什么？
• RQ5 能否利用该框架推广z-测度与Plancherel测度的渐近行为？

主要发现

• Schur测度的相关函数由具有围线积分表示的核K的行列式给出，支持精确的渐近分析。
• 核K源自Schur测度参数的生成函数，其形式简单，与随机矩阵理论中正交多项式方法不同。
• 相关函数满足完整的Toda晶格层次结构的PDE，通过无限楔空间中的Hirota双线性方程得以证明。
• 均匀测度的n点函数可表示为涉及亏格1 θ函数及其导数的行列式之和，该结果通过q-差分方程推导得出。
• 在均匀测度下，典型大分拆的局部结构为位置依赖步长概率的随机游走轨迹，与Plancherel情形形成对比。
• 该框架推广了先前关于Plancherel与z-测度的结果，为相关函数与渐近行为提供了更简洁、更具概念性的证明。