[论文解读] Infinitely many not locally soluble $SI^*$-groups

Vahagn H. Mikaelian|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2012

Finite Group Theory Research参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过使用一种词语嵌入技术，构建了一个连续统的两两非同构、非局部可解的 $SI^*$-群，该技术通过使用特别选取的自由幂零群的雅各比积，将可数 $SI^*$-群嵌入到两个生成元的 $SI^*$-群中。关键贡献在于证明了这些群所生成的簇的基数与全体群簇的基数相同，均为连续统。

ABSTRACT

The class of those (torsion-free) $SI^*$-groups which are not locally soluble, has the cardinality of the continuum. Moreover, these groups are not only pairwise non-isomorphic, but also they generate pairwise different varieties of groups. Thus, the set of varieties generated by not locally soluble $SI^*$-groups is of the same cardinality as the set of all varieties of groups. It is possible to localize a variety of groups which contains all groups and varieties constructed. The examples constructed here continue the well known example of a not locally soluble $SI^*$-group built by Hall and by Kovács and Neumann.

研究动机与目标

• 证明存在不可数多个非局部可解的 $SI^*$-群。
• 证明这些群两两非同构，并生成不同的群簇。
• 将经典的 Hall-Kovács-Neumann 构造方法（仅构造一个非局部可解的 $SI^*$-群）推广为具有丰富结构多样性的此类群的族。
• 确立这些群所生成的簇可以被局部化，且包含所有构造出的例子。
• 探讨该方法在其他广义可解群类（如 $SI$-群和 $SN$-群）中的适用性。

提出的方法

• 利用 Mikaelian (2002) 提出的词语嵌入构造，通过与自由幂零群 $S$ 的雅各比积，将可数 $SI^*$-群 $G$ 嵌入到一个两生成元的 $SI^*$-群 $H=H(G,V)$ 中。
• 选取 $S$ 使得其词语子群 $V(S)$ 非平凡，且 $S$ 能够鉴别其簇，从而确保嵌入过程保持 $SI^*$-结构。
• 采用 Ol’shanskii 对 $\mathfrak{G}_5 \cap \mathfrak{B}_{8qr}$ 中子簇的连续统构造，生成不可数多个不同的 $SI^*$-群。
• 将该嵌入过程应用于由连续统参数索引的一族群，确保非同构性与不同簇的生成。
• 将初始群 $G$ 和自由幂零群 $S$ 上的线性序提升至最终的雅各比积结构中，从而实现对最终 $SI^*$-群的线性序化。
• 利用仅使用雅各比积的子群（而非整个积）这一事实，以保持线性序的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出不可数多个两两非同构、非局部可解的 $SI^*$-群？
• RQ2 这些群是否生成两两不同的群簇？
• RQ3 非局部可解 $SI^*$-群所生成的簇的集合，其大小是否与所有群簇的集合相同？
• RQ4 词语嵌入方法能否被调整以在其他广义可解群类中构造出类似例子？
• RQ5 此类 $SI^*$-群能否被线性序化？若能，该序如何在构造过程中被保持？

主要发现

• 非局部可解 $SI^*$-群的类具有连续统的基数。
• 所构造的 $SI^*$-群两两非同构，并生成两两不同的群簇。
• 非局部可解 $SI^*$-群所生成的簇的集合，其基数与所有群簇的集合相同。
• 一个包含所有构造出群的簇可以被局部化，即该簇包含所有通过该方法构建出的例子。
• 该构造将 Hall-Kovács-Neumann 的例子推广为连续统个此类群，而不仅限于一个。
• 所构造的群可以被线性序化，从而将该方法的适用范围扩展至有序群论。