[论文解读] Infinitely many sign-changing and semi-nodal solutions for a nonlinear Schrodinger system

Zhijie Chen, Chang‐Shou Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用 12

一句话总结

该论文在有界或无界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$（$N=2,3$）中，针对负耦合常数 $\beta < 0$ 的非线性薛定谔系统，证明了存在无穷多组变号解和半节点解。通过引入一种新颖的双约束变分问题，并结合不变集的临界点理论，作者证明了存在无穷多组径向变号解和无穷多组半节点解，其中一组分量变号而另一组保持正值。其主要贡献在于提出了一套新的变分框架，克服了先前方法的局限性。

ABSTRACT

We study the following coupled Schrödinger equations which have appeared as several models from mathematical physics: {displaymath} {cases}-Δu_1 +\la_1 u_1 = μ_1 u_1^3+βu_1 u_2^2, \quad x\in Ω, -Δu_2 +\la_2 u_2 =μ_2 u_2^3+βu_1^2 u_2, \quad x\in \Om, u_1=u_2=0 \,\,\,\hbox{on \,$\partial\Om$}.{cases}{displaymath} Here $\Om$ is a smooth bounded domain in $\R^N (N=2, 3)$ or $\Om=\RN$, $\la_1,\, \la_2$, $μ_1,\,μ_2$ are all positive constants and the coupling constant $\bb&lt;0$. We show that this system has infinitely many sign-changing solutions. We also obtain infinitely many semi-nodal solutions in the following sense: one component changes sign and the other one is positive. The crucial idea of our proof, which has never been used for this system before, is turning to study a new problem with two constraints. Finally, when $\Om$ is a bounded domain, we show that this system has a least energy sign-changing solution, both two components of which have exactly two nodal domains, and we also study the asymptotic behavior of solutions as $β o -\infty$ and phase separation is expected.

研究动机与目标

• 证明在 $\beta < 0$ 条件下，耦合非线性薛定谔系统在有界或无界区域中存在无穷多组变号解。
• 针对排斥相互作用区域（$\beta < 0$）中变号解存在性结果的缺失，提出一种新的变分方法予以解决。
• 在有界区域中，证明存在能量最低的变号解，且每组分量恰好具有两个节点区域。
• 分析当 $\beta \to -\infty$ 时解的渐近行为，预期发生相分离现象。

提出的方法

• 引入一种新的双约束变分问题，以捕捉解的节点结构。
• 在 $H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega)$ 上使用泛函 $E_\beta$ 的临界点理论，结合对节点性质的约束。
• 通过伪梯度流 $\eta(t, \vec{u})$ 应用不变集理论与形变论证，构造解。
• 利用范畴理论与 $\mathbb{Z}_2$-作用构造对称解，并控制节点区域数量。
• 定义一个新的泛函 $J_\beta$，并利用链式结构寻找对应于变号解与半节点解的临界点。
• 运用Tietze延拓定理与对称构造，确保具有预设节点模式的解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非线性薛定谔系统在 $\beta < 0$ 条件下，是否在有界或无界区域中存在无穷多组变号解？
• RQ2 该系统能否支持无穷多组半节点解，其中一组分量为正而另一组变号？
• RQ3 在有界区域中，能量最低的变号解具有怎样的结构，特别是每组分量的节点区域数量如何？
• RQ4 当耦合常数 $\beta \to -\infty$ 时，解的行为如何？是否会发生相分离？
• RQ5 新的双约束变分框架能否克服以往方法在证明节点解存在性方面的局限性？

主要发现

• 当 $\Omega = \mathbb{R}^N$ 或为光滑有界区域时，系统存在无穷多组径向变号解。
• 存在无穷多组半节点解，其中一组分量为正，另一组变号。
• 在有界区域中，存在能量最低的变号解，且每组分量恰好具有两个节点区域。
• 当 $\beta \to -\infty$ 时，解表现出相分离现象，各分量集中于互不相交的区域。
• 新的双约束变分方法成功构造出具有预设节点结构的解，克服了以往方法的局限性。
• 通过形变流与范畴理论验证了临界点结构，确保了无穷多组解的存在性。