[论文解读] Infinitely many sign-changing solutions for the nonlinear Schrödinger-Poisson system

Zhaoli Liu, Zhi-Qiang Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用 13

一句话总结

该论文通过下降流不变集方法，证明了在 $ℝ^3$ 中非线性薛定谔-泊松系统的无穷多变号解的存在性。该研究扩展了先前结果，涵盖了此前研究较少的幂次非线性项 $p \in (3,4)$ 的情形 $f(u) = |u|^{p-2}u$，且在无需对称性假设或依赖尼哈里曼集的情况下证明了解的多重性。

ABSTRACT

We investigate the existence of multiple bound state solutions, in particular sign-changing solutions. By using the method of invariant sets of descending flow, we prove that this system has infinitely many sign-changing solutions. In particular, the nonlinear term includes the power-type nonlinearity $f(u)=|u|^{p-2}u$ for the well-studied case $p\in(4,6)$, and the less-studied case $p\in(3,4)$, and for the latter case few existence results are available in the literature.

研究动机与目标

• 在不假设对称性的前提下，建立 $ℝ^3$ 中非线性薛定谔-泊松系统存在无穷多变号解。
• 将现有存在性结果扩展至幂次非线性项 $f(u) = |u|^{p-2}u$ 中研究较少的 $p \in (3,4)$ 情形。
• 发展一种不依赖于尼哈里曼集的方法，克服先前变分方法的局限性。
• 在势函数 $V(x)$ 和非线性项 $f(u)$ 的一般条件下，证明多重变号解的存在性。

提出的方法

• 利用下降流不变集方法构造与薛定谔-泊松系统相关的能量泛函的临界点。
• 在非线性项 $f(u) = |u|^{p-2}u + \lambda |u|^{r-2}u$ 中引入参数 $\lambda$，通过扰动论证处理临界情形 $p \in (3,4)$。
• 在能量空间中构造一族等变映射 $\varphi_n$，以满足临界点定理所需的拓扑条件。
• 应用变形引理与紧致性论证，令 $\lambda \to 0^+$ 取极限，从而恢复原问题的解。
• 利用 $V(x)$ 的强制性以及阿姆布罗塞蒂-拉宾诺维奇型条件 ($f_3$) 确保帕莱斯-斯莫尔奇茨序列的有界性与弱收敛性。
• 依赖于在 $L^q(\mathbb{R}^3)$（$q \in [2,6)$）和 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ 中对关联势函数 $\phi_u$ 的强收敛性，以完成极限过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设对称性的前提下，证明 $ℝ^3$ 中非线性薛定谔-泊松系统存在无穷多变号解？
• RQ2 是否能够将变号解的存在性结果扩展至此前方法失效的 $p \in (3,4)$ 情形？
• RQ3 能否在不依赖尼哈里曼集的前提下，建立多重变号解的存在性？
• RQ4 下降流不变集方法如何应用于具有广义非线性项的非局部薛定谔-泊松系统？

主要发现

• 在 $V(x)$ 强制且 $f(u)$ 满足 $f_1$--$f_3$ 且 $\mu > 4$ 的条件下，系统存在无穷多变号解。
• 该方法成功覆盖了此前研究较少且存在结果稀少的 $p \in (3,4)$ 情形。
• 解的获得不依赖于径向对称性或群不变性，突破了以往研究中需施加此类约束的局限。
• 证明了能量泛函的临界点在 $\lambda \to 0^+$ 时于索伯列夫空间 $E$ 中强收敛，从而得到原问题的非平凡解。
• 能量泛函的临界水平 $c_j$ 满足 $\lim_{j \to \infty} c_j = \infty$，确认了无穷多组不同解的存在性。
• 该方法避免了对尼哈里曼集的依赖，为具有变号解的非局部问题提供了新的变分框架。