[论文解读] Infinitely many solutions for p-Laplacian equation involving double critical terms and boundary geometry

Chunhua Wang, Chang-Lin Xiang|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文证明了在有界区域上，带有双临界项（Sobolev型与Hardy型）的拟线性椭圆方程在 $ p $-Laplacian 及边界几何约束条件下存在无穷多组解。通过引入扰动问题的逼近方法与整体紧致性分析，证明当 $ N > p^2 + p $，$ a(0) > 0 $，且若 $ 0 \notin \bar{\text{int}}(\bar{\text{dom}}) $，区域在原点处满足曲率条件时，存在无穷多组解，将先前半线性情形的结果推广至拟线性情形。

ABSTRACT

Let $1p^{2}+p,a(0)>0$ and $Ω$ satisfies some geometry conditions if $0\in\partialΩ$, say, all the principle curvatures of $\partialΩ$ at $0$ are negative, then the above problem has infinitely many solutions.

研究动机与目标

• 将双临界非线性项（Sobolev型与Hardy型）的拟线性 $ p $-Laplacian 方程在 $ 1 < p < N $ 情形下，从半线性情形（$ p=2 $）的无穷多解存在性结果推广至拟线性情形。
• 将边界几何的影响，特别是当 $ 0 \notin \text{int}(\bar{\text{dom}}) $ 时原点处主曲率的符号，纳入存在性理论中。
• 通过扰动方法克服高能量水平下 Palais-Smale 条件的失效。
• 为近似解建立整体紧致性结果，并分析集中现象。
• 证明在几何与结构条件下，近似解序列 $ u_{\theta,l} $ 强收敛于原问题的解。

提出的方法

• 引入带有指数扰动 $ p^* - \tilde{\theta} $ 与 $ p^*(s) - \tilde{\theta} $ 的扰动问题，其中 $ \tilde{\theta} > 0 $，以恢复 Palais-Smale 条件。
• 对满足 Palais-Smale 条件且为偶函数的扰动能量泛函 $ I_\theta $ 应用对称山路引理。
• 通过 $ \rho_{x,\theta}(u) = \theta^{(N-p)/p} u(\theta(\bullet - x)) $ 的爆破分析与重标度，识别集中形式。
• 利用比较原理与附录 B 中的衰减估计，建立解在无穷远处的衰减估计。
• 应用整体紧致性分解（命题 D.1），证明扰动问题的任意有界解序列可分解为极限解、有限个泡状解（分别对应于 $ \bR^N $ 或 $ \bR^N_* $ 中的解），以及在 $ W_0^{1,p} $ 中趋于零的余项。
• 利用 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式与 Sobolev 不等式，确保能量泛函中所有项的定义良好，并控制非线性项的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拟线性情形下，对于带有双临界非线性项（Sobolev 型与 Hardy 型）的拟线性 $ p $-Laplacian 方程，是否可证明存在无穷多组解？
• RQ2 当 $ 0 \notin \text{int}(\bar{\text{dom}}) $ 时，区域的几何结构，特别是原点处主曲率的符号，如何影响无穷多组解的存在性？
• RQ3 在何种条件下，近似解序列 $ u_{\theta,l} $ 满足 $ \theta \to 0 $ 时在 $ W_0^{1,p}(\bar{\text{dom}}) $ 中强收敛，从而保证原问题解的存在性？
• RQ4 系数 $ a(x) $ 在 $ x=0 $ 附近起什么作用，以促成无穷多组解的存在？
• RQ5 能否利用整体紧致性结果排除非平凡泡状解的形成，并确保近似解的极限为原问题的真实解？

主要发现

• 当 $ N > p^2 + p $，$ a(0) > 0 $，且 $ \bar{\text{dom}} $ 满足边界几何条件（即当 $ 0 \notin \text{int}(\bar{\text{dom}}) $ 时，$ \bar{\text{dom}} $ 在原点处的所有主曲率为负）时，问题存在无穷多组解。
• 由于能量泛函满足 Palais-Smale 条件，且对称山路引理适用，带有指数扰动 $ \theta > 0 $ 的近似问题存在无穷多组解。
• 若能量水平 $ c_{\theta,l} $ 有界且区域满足曲率条件，则近似解序列 $ u_{\theta,l} $ 在 $ \theta \to 0 $ 时于 $ W_0^{1,p}(\bar{\text{dom}}) $ 中强收敛。
• 整体紧致性结果（命题 D.1）表明，扰动问题的任意有界解序列可分解为弱极限、有限个泡状解（集中于 $ \bar{\text{dom}} $ 或 $ 0 $ 处的点），以及在 $ W_0^{1,p} $ 中趋于零的余项。
• 每个泡状解对应于 $ \bR^N $ 或 $ \bR^N_* $ 中极限问题的解，后者情形出现在 $ 0 \notin \text{int}(\bar{\text{dom}}) $ 时，且解满足 $ -\triangle_p u = b_j \nu |u|^{p^*-2}u $ 或 $ -\triangle_p u = b_j \nu |u|^{p^*-2}u + b_j |u|^{p^*(s)-2}u / |x|^s $。
• 利用比较原理与附录 B 中的衰减估计，建立了在无穷远处解的衰减估计 $ |u(x)| \to 0 $，衰减速率 $ |x|^{-(N-p)/(p-1)} $。