[论文解读] Infinitely many solutions for semilinear nonlocal elliptic equations under noncompact settings

Woocheol Choi, Jinmyoung Seok|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用 5

一句话总结

该论文通过次临界逼近方法和对分数阶Sobolev空间中紧致性损失的细致分析，证明了在有界区域上带临界非线性的分数阶Brezis-Nirenberg问题存在无穷多组非平凡解。关键结果为：当 $ N > 6s $ 时，方程 $ (- riangle)^s u = |u|^{rac{2N}{N-2s}-2}u + \mu u $ 在 $ \Omega $ 内，$ u = 0 $ 在 $ \partial\Omega $ 上，当 $ \mu > 0 $ 时存在无穷多组解。

ABSTRACT

In this paper, we study a class of semilinear nonlocal elliptic equations posed on settings without compact Sobolev embedding. More precisely, we prove the existence of infinitely many solutions to the fractional Brezis-Nirenberg problems on bounded domain.

研究动机与目标

• 为解决分数阶Sobolev空间中缺乏紧致Sobolev嵌入的问题，该问题阻碍了临界指数问题的标准变分方法。
• 将Devillanova和Solimini在经典Brezis-Nirenberg问题中关于无穷多组解的结果推广至非局部分数阶Laplacian设定。
• 克服由于临界非线性和非紧致嵌入导致的Palais-Smale条件失效问题。
• 在 $ N > 6s $ 且 $ \mu > 0 $ 的条件下，建立分数阶Brezis-Nirenberg问题在临界增长下存在无穷多组非平凡解的存在性。

提出的方法

• 通过一列次临界问题（1.4）（其中 $ \varepsilon > 0 $）逼近临界问题（1.2），非线性项为 $ |u|^{\frac{2N}{N-2s}-2-\varepsilon}u + \mu u $。
• 对次临界问题应用标准变分方法，在分数阶Sobolev空间 $ H^s_0(\Omega) $ 中获得无穷多组非平凡弱解。
• 利用次临界问题解的统一估计，通过弱紧致性提取出一个弱极限，该极限满足原始临界问题。
• 采用移动平面法和正则性理论，证明该弱极限为经典解。
• 应用Pohozaev恒等式和加权Sobolev不等式，控制扩展问题设定下解的增长与衰减行为。
• 利用Caffarelli-Silvestre扩展，将分数阶Laplacian与 $ \mathbb{R}^{N+1}_+ $ 中的退化椭圆问题联系起来，从而可应用加权Sobolev和迹不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏紧致Sobolev嵌入的条件下，能否证明分数阶Brezis-Nirenberg问题在临界非线性下存在无穷多组解？
• RQ2 在经典情形中成功的次临界逼近方法，是否可推广至非局部分数阶设定？
• RQ3 分数阶情形下，无穷多组解存在的维数条件 $ N > 6s $ 的最优性如何？
• RQ4 在 $ H^s_0(\Omega) \hookrightarrow L^{2N/(N-2s)}(\Omega) $ 中紧致性丧失如何影响变分结构与解的多重性？
• RQ5 Pohozaev恒等式与加权Sobolev不等式是否可被适配以控制分数阶Laplacian扩展问题框架中解的行为？

主要发现

• 当 $ N > 6s $ 且 $ \mu > 0 $ 时，分数阶Brezis-Nirenberg问题存在无穷多组非平凡解，将经典情形下Devillanova和Solimini的结果推广至非局部设定。
• 对每个足够小的 $ \varepsilon > 0 $，次临界问题（1.4）在 $ H^s_0(\Omega) $ 中存在无穷多组非平凡解，这是由于次临界增长和标准变分技术的作用。
• 建立了次临界问题解在 $ H^s_0(\Omega) $-范数上的统一有界性，从而可通过弱紧致性提取弱极限。
• 次临界解的弱极限是原始临界问题（1.2）的非平凡弱解，这是基于集中-紧致性方法和对非线性项的细致分析。
• 该证明依赖于Caffarelli-Silvestre扩展，以及在扩展空间中使用加权Sobolev和迹不等式来控制解的行为。
• 条件 $ N > 6s $ 是最优的，因为它确保了Moser迭代法中迭代论证所必需的可积性与紧致性。