[论文解读] Infinitely presented graphical small cancellation groups are acylindrically hyperbolic

Dominik Gruber, Alessandro Sisto|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 39被引用 17

一句话总结

本文证明了无限呈现的图形 Gr(7)-小Cancellation 群是狭义双曲的，扩展至经典 C(7) 和 C′(1/6)-群。作者通过锥化 Cayley 图构建了一个双曲空间，并运用几何群论技巧确立了狭义双曲性，从而得出具有奇异发散函数和非相对双曲结构的新群例子。

ABSTRACT

We prove that infinitely presented graphical $Gr(7)$ small cancellation groups are acylindrically hyperbolic. In particular, infinitely presented classical $C(7)$-groups and, hence, classical $C'(\frac{1}{6})$-groups are acylindrically hyperbolic. We also prove the analogous statements for the larger class of graphical small cancellation presentations over free products. We construct infinitely presented classical $C'(\frac{1}{6})$-groups that provide new examples of divergence functions of groups.

研究动机与目标

• 建立无限呈现的图形 Gr(7)-小Cancellation 群的狭义双曲性。
• 将结果扩展至经典 C(7) 和 C′(1/6)-群，它们是图形呈现的特例。
• 构造具有复杂发散函数的新群例子，包括超过任意次指数函数的超线性增长。
• 证明存在有限生成的非相对双曲群，其包含非退化的双曲嵌入子群。
• 提供一种构造性方法，将任意有限生成的无限群嵌入为非相对双曲群中的非退化双曲嵌入子群。

提出的方法

• 从标记图 Γ 定义图形小Cancellation 群 G(Γ)，其中关系字为沿闭路径读取的词。
• 在 G(Γ) 的 Cayley 图上使用锥化构造，生成 G(Γ) 在双曲空间 Y 上的作用。
• 通过分析 Cayley 图中嵌入的环图的相交模式，应用狭义双曲性的几何准则。
• 构造显式路径和环路，证明 Y 上的作用是狭义的，且轨道无界。
• 利用相对 Dehn 函数和图示论证，验证所构造群中双曲嵌入子群的存在性。
• 利用自由积上的小Cancellation 构造具有受控渐近和几何性质的群。

实验结果

研究问题

• RQ1 无限呈现的图形 Gr(7)-群是否为狭义双曲的？
• RQ2 有限生成群的发散函数能否表现出超线性增长，且超过任意次指数函数？
• RQ3 每个有限生成的无限群是否都能嵌入为非相对双曲群中的非退化双曲嵌入子群？
• RQ4 通过图形小Cancellation 构造的经典 C′(1/6)-群是否表现出狭义双曲性？
• RQ5 通过自由积上的小Cancellation 构造的群具有怎样的几何与渐近性质？

主要发现

• 除非为虚拟循环群，否则无限呈现的图形 Gr(7)-标记群是狭义双曲的。
• 所有无限呈现的经典 C(7)-群和 C′(1/6)-群都是狭义双曲的。
• 本文构造了一个显式例子：一个无限呈现的经典 C′(1/6)-群，其发散函数的上极限超过任意给定的可数个次指数函数集合。
• 同一群的发散函数的下极限被一个二次多项式有界。
• 定理 5.2 中的群 G(I) 相对于任何真子群族都不是双曲的。
• 每个有限生成的无限群均可嵌入为一个有限生成群中的非退化双曲嵌入子群，而该群非非平凡地相对双曲。