[论文解读] Infinitesimal bialgebras, pre-Lie and dendriform algebras

Marcelo Aguiar|ArXiv.org|Nov 5, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 45

一句话总结

本文建立了无穷小双代数、预李代数与 dendriform 代数之间的意外联系。它表明，任意无穷小双代数通过乘积 $ a \circ b = b_1 a b_2 $ 自然诱导出一个预李代数，而一个拟三角形无穷小双代数则通过 $ x \succ y = \sum_i u_i x v_i y $，$ x \prec y = \sum_i x u_i y v_i $ 诱导出一个 dendriform 代数，从而在 $ \text{End}(A) $ 上产生一个结合了卷积积与复合积的典范 dendriform 结构。

ABSTRACT

We introduce the categories of infinitesimal Hopf modules and bimodules over an infinitesimal bialgebra. We show that they correspond to modules and bimodules over the infinitesimal version of the double. We show that there is a natural, but non-obvious way to construct a pre-Lie algebra from an arbitrary infinitesimal bialgebra and a dendriform algebra from a quasitriangular infinitesimal bialgebra. As consequences, we obtain a pre-Lie structure on the space of paths on an arbitrary quiver, and a striking dendriform structure on the space of endomorphisms of an arbitrary infinitesimal bialgebra, which combines the convolution and composition products. We extend the previous constructions to the categories of Hopf, pre-Lie and dendriform bimodules. We construct a brace algebra structure from an arbitrary infinitesimal bialgebra; this refines the pre-Lie algebra construction. In two appendices, we show that infinitesimal bialgebras are comonoid objects in a certain monoidal category and discuss a related construction for counital infinitesimal bialgebras.

研究动机与目标

• 建立无穷小双代数、预李代数与 dendriform 代数之间新的结构联系。
• 定义并研究无穷小双代数上的无穷小霍普夫模与双模，表明它们等价于无穷小双代数构造上的模。
• 通过卷积类乘积 $ a \circ b = b_1 a b_2 $，从任意无穷小双代数构造出一个预李代数结构。
• 将该构造推广至拟三角形无穷小双代数，通过结合关联杨-Baxter 方程的解，构造 dendriform 代数。
• 证明一个拟三角形 $ \epsilon $-双代数的自同态代数 $ \text{End}(A) $ 会继承一个自然的 dendriform 代数结构，该结构结合了卷积积与复合积。

提出的方法

• 将无穷小霍普夫模与双模定义为无穷小双代数构造上的模，证明在有限维情形下其等价性。
• 对任意无穷小双代数 $ A $，通过运算 $ a \circ b = b_1 a b_2 $ 构造一个预李代数，其中 $ \Delta(a) = a_1 \otimes a_2 $。
• 对具有关联杨-Baxter 方程解 $ r = \sum u_i \otimes v_i $ 的拟三角形 $ \epsilon $-双代数，定义 dendriform 运算 $ x \succ y = \sum_i u_i x v_i y $，$ x \prec y = \sum_i x u_i y v_i $。
• 证明 $ \epsilon $-双代数 $ A $ 的大衛·双代数，即 $ (A \otimes A^*) \oplus A \oplus A^* $，具有自然的拟三角形 $ \epsilon $-双代数结构，从而在 $ \text{End}(A) $ 上诱导出一个 dendriform 代数。
• 证明子空间 $ A \otimes A^* \subset \text{End}(A) $ 在 dendriform 运算下封闭，并推导出 $ \text{End}(A) $ 上 dendriform 结构的显式公式。
• 通过包含拟三角形 $ \epsilon $-双代数的交换图，建立预李与 dendriform 构造之间的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个无穷小双代数是否都能自然地配备一个预李代数结构？
• RQ2 在何种条件下，拟三角形无穷小双代数会诱导出 dendriform 代数结构？
• RQ3 一个拟三角形 $ \epsilon $-双代数的自同态代数 $ \text{End}(A) $ 如何通过双代数构造继承 dendriform 代数结构？
• RQ4 无穷小霍普夫双模与无穷小双代数构造上的模之间存在何种关系？
• RQ5 当 $ A $ 为拟三角形时，是否存在一个从 $ \text{End}(A) $ 到 $ A $ 的自然同态，使其保持 dendriform 代数结构？

主要发现

• 任意无穷小双代数 $ A $ 通过 $ a \circ b = b_1 a b_2 $ 自然诱导出一个预李代数结构，该结构推广了来自除法差分的维特定代数。
• 对具有解 $ r = \sum u_i \otimes v_i $ 的拟三角形 $ \epsilon $-双代数，运算 $ x \succ y = \sum_i u_i x v_i y $，$ x \prec y = \sum_i x u_i y v_i $ 在 $ A $ 上定义了一个 dendriform 代数。
• 一个 $ \epsilon $-双代数 $ A $ 的大衛·双代数，即 $ (A \otimes A^*) \oplus A \oplus A^* $，具有自然的拟三角形 $ \epsilon $-双代数结构，从而在 $ \text{End}(A) $ 上诱导出一个 dendriform 代数。
• 自同态代数 $ \text{End}(A) $ 继承了一个由 $ T \succ S = (\text{id} * T * \text{id})S + (\text{id} * T)(S * \text{id}) $，$ T \prec S = T(\text{id} * S * \text{id}) + (T * \text{id})(\text{id} * S) $ 定义的 dendriform 结构，该结构结合了卷积积与复合积。
• 当 $ A $ 为拟三角形时，存在一个从 $ \text{End}(A) $ 到 $ A $ 的典范 dendriform 代数同态，将两种构造联系起来。
• 单位元与拟三角形 $ \epsilon $-双代数的类是互不相交的：一个既是单位元又是拟三角形的 $ \epsilon $-双代数必为平凡（即零代数）。