[论文解读] Infinitesimal Fourier Transformation for The Space of Functionals

Takashi Nitta, Tomoko Okada|ArXiv.org|May 13, 2004

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过使用超有限格点和双重非标准扩张（${}^\bullet({}^*\bbR)$），为非标准扩展空间上的泛函引入了一种无穷小傅里叶变换。通过在超有限网格上对内部函数建模泛函，该方法将 Kinoshita 和 Gordon 的无穷小傅里叶变换推广至无穷维泛函，并证明了变换的实部收敛于经典傅里叶变换，关键结果包括在非标准设定下狄拉克函数的行为以及高斯积分的近似。

ABSTRACT

The purpose is to formulate a Fourier transformation for the space of functionals, as an infinitesimal meaning. We extend ${\bf R}$ to $ ^{\star}(^{\ast}{\bf R})$ under the base of nonstandard methods for the construction. The domain of a functional is the set of all internal functions from a $ ^{\ast}$-finite lattice to a $ ^{\ast}$-finite lattice with a double meaning. Considering a $ ^{\ast}$-finite lattice with a double meaning, we find how to treat the domain for a functional in our theory of Fourier transformation, and calculate two typical examples.

研究动机与目标

• 开发一个用于泛函空间傅里叶变换的非标准分析框架，将先前针对函数的工作扩展至泛函。
• 通过引入实数的双重扩张 $^\bullet({}^*\bbR)$，解决费曼路径积分中对高阶无穷小量的需求。
• 在超有限格点上为泛函定义严格的无穷小傅里叶变换，通过内部函数对无穷维函数空间进行建模。
• 将 Kinoshita 和 Gordon 的离散傅里叶变换推广至泛函设定，保持关键性质如 $F\tilde{\rho} = 1$ 对类狄拉克泛函的成立。
• 通过标准部分映射证明非标准变换收敛于经典傅里叶变换，特别针对高斯型与狄拉克型泛函。

提出的方法

• 利用非标准分析将实数扩展至 $^\bullet({}^*\bbR)$，以处理泛函空间所需的高阶无穷小量与无穷大量。
• 将泛函的定义域建模为从超有限格点 $[-H/2, H/2)$ 到另一格点 $[-H'/2, H'/2)$ 的内部函数，从而实现对泛函的离散逼近。
• 采用受 Kinoshita 和 Gordon 启发的离散傅里叶变换公式：$(F\tilde{\rho})(p) = \frac{1}{H} \text{对 } z \in [-H^2/2, H^2/2) \text{ 求和 } \text{exp}(-2\tilde{\rho}ipz/H) \tilde{\rho}(z/H)$。
• 对非标准变换应用标准部分映射（st），以恢复经典傅里叶变换行为，证明在 $M \to \tilde{\rho}^{-1}$ 与 $M \tilde{\rho} \to \tilde{\rho}^{-1}$ 等条件下实现收敛。
• 利用超有限求和与非标准分析近似 $\bbR$ 上的积分，例如 $\text{st}\big(\text{对 } z \text{ 求和 } \tilde{\rho} \text{exp}(-\tilde{\rho}^2 z^2)\big) = \text{int}_{-\bbR} \text{exp}(-x^2)dx = 1$。
• 通过指数求和的有界性分析误差项，表明离散和与积分之间的差异在 $^\bullet({}^*\bbR)$ 中为无穷小，例如当 $\tilde{\rho} \to 0$ 时，有 $| \text{和} - \text{积分} | \to 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用非标准分析在无穷维空间上严格定义泛函的傅里叶变换？
• RQ2 通过 $^\bullet({}^*\bbR)$ 实现的高阶无穷小量在实现一致泛函傅里叶变换中起到什么作用？
• RQ3 非标准傅里叶变换的实部是否收敛于经典傅里叶变换？
• RQ4 类狄拉克泛函在无穷小傅里叶变换下的行为如何？是否满足 $F\tilde{\rho} = 1$？
• RQ5 在何种条件下，离散非标准变换可近似连续傅里叶变换，尤其针对具有高斯或紧支集的泛函？

主要发现

• 泛函的无穷小傅里叶变换的实部收敛于经典傅里叶变换，如对高斯型泛函有 $\text{st}(\text{st}(C_2(b))) = 1$ 所示。
• 无穷小狄拉克泛函 $\tilde{\rho}$ 的变换满足 $F\tilde{\rho} = 1$，将经典性质推广至非标准设定。
• 离散和与连续积分之间的误差在 $^\bullet({}^*\bbR)$ 中为无穷小，其界由类似 $\text{exp}(\tilde{\rho}^2) \times 2\tilde{\rho} \times \text{指数求和}$ 的项控制，这些项在标准部分下消失。
• 对高斯泛函，非标准求和 $\text{sum}_z \tilde{\rho} \text{exp}(-\tilde{\rho}^2 z^2)$ 的标准部分等于 1，与 $\text{int}_{-\bbR} \text{exp}(-x^2)dx = 1$ 一致。
• 高斯函数与余弦项乘积的变换收敛于经典积分 $\text{int} \text{exp}(-\tilde{\rho}^2(x^2 - b^2)) \text{cos}(2\tilde{\rho} b x) dx$，误差由无穷小表达式控制。
• 逆变换性质得以保持：$(1 + 1/(N \text{int} \text{exp}(-\tilde{\rho}^2 x^2)dx))^{N} \to \text{exp}(-\text{int} \text{exp}(-\tilde{\rho}^2 x^2)dx)$，当 $N$ 为无穷大时，其标准部分为 1。