[论文解读] Infinitesimal Newton-Okounkov bodies and jet separation

Alex Küronya, Victor Lozovanu|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2015

Point processes and geometric inequalities被引用 2

一句话总结

本文通过无穷小牛顿-奥库诺夫多面体，建立了光滑射影代数簇上线丛局部正性的凸几何刻画。通过分析在点处通过爆破构造的旗所关联的这些多面体，作者证明了正性与拟正性等价于多面体中存在特定的倒置标准单形。关键贡献在于，通过最大倒置单形常数，完整描述了所有维数下的移动塞沙德里常数，将正性与凸几何联系起来。

ABSTRACT

In this paper we explore the connection between asymptotic base loci and Newton-Okounkov bodies associated to infinitesimal flags. Analogously to the surface case, we obtain complete characterizations of augmented and restricted base loci. Interestingly enough, an integral part of the argument is a study of the relationship between certain simplices contained in Newton-Okoukov bodies and jet separation; our results also lead to a convex geometric description of moving Seshadri constants.

研究动机与目标

• 开发一个理解射影代数簇上线丛局部正性的凸几何框架。
• 以点为中心的无穷小牛顿-奥库诺夫多面体刻画正性与拟正性。
• 将移动塞沙德里常数的凸几何解释推广至任意维数。
• 建立最大倒置单形常数与移动塞沙德里常数之间的精确联系。
• 在大锥上提供移动塞沙德里函数的连续、齐次且拟凹的延拓。

提出的方法

• 在代数簇于一点的爆破上构造无穷小旗，其由例外除子中的线性子空间组成。
• 定义无穷小牛顿-奥库诺夫多面体为在这些旗下全局截面赋值的凸包。
• 利用喷射分离技术及[ELMNP2]中的结果，将多面体中大单形与喷射分离性质关联。
• 应用[LM]和[FKL]中的截面定理与体积不等式，分析基点集与边界行为。
• 将倒置最大单形常数 ξ(D;x) 定义为包含于多面体中的倒置标准单形的最大尺寸的上确界。
• 构造一个扩展的塞沙德里函数，统一大锥上移动塞沙德里常数与渐近重数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用无穷小牛顿-奥库诺夫多面体刻画线丛在一点处的局部正性？
• RQ2 一个除子的正性或拟正性在无穷小牛顿-奥库诺夫多面体下的精确凸几何条件是什么？
• RQ3 移动塞沙德里常数与无穷小牛顿-奥库诺夫多面体的几何之间有何关系？
• RQ4 移动塞沙德里常数能否在大锥上连续且拟凹地延拓，包括其为零的区域？
• RQ5 喷射分离在将倒置单形的大小与正性性质关联中起什么作用？

主要发现

• 一个大 R-除子 D 是拟正的，当且仅当对任意点 x ∈ X 及其上任意无穷小旗 Y•，有 0 ∈ ∆Y•(D)。
• 一个大 R-除子 D 是正的，当且仅当对任意点 x ∈ X，存在一个无穷小旗 Y•，使得一个大小为 ξ > 0 的倒置标准单形 ∆−1ξ 包含于 ∆Y•(D) 中。
• 移动塞沙德里常数满足 ε(∥D∥;x) = ξ(D;x)，其中 ξ(D;x) 是包含于无穷小牛顿-奥库诺夫多面体中的最大倒置标准单形的尺寸。
• 在大锥上，定义扩展的塞沙德里函数 εx(D) 为：当 x ∉ B+(D) 时，εx(D) = ε(∥D∥;x)；当 x ∈ B+(D) ackslash B−(D) 时，εx(D) = 0；当 x ∈ B−(D) 时，εx(D) = −multx∥D∥。该函数在大锥上连续且一次齐次。
• 扩展的塞沙德里函数并非处处可微，如在 P² 在一点的爆破上构造的不可微例子所示。
• 在无穷小牛顿-奥库诺夫多面体中，倒置标准单形 ∆−1ξ 内部的所有有理点均为赋值点，即它们由具有指定零点的全局截面所实现。