[论文解读] Infinitesimal objects associated to Dirac groupoids and their homogeneous spaces

Madeleine Jotz|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文通过在单位和乘法Dirac结构的核上引入李代数胚结构，建立了Dirac群胚的无穷小结构。它从Dirac群胚构造了一个广义的Courant代数胚，推广了泊松几何与辛几何中的已知结构，并通过在双分部作用下不变的拉格朗日子空间对Dirac齐次空间进行分类，统一了关于泊松和闭2-形式群胚的先前结果。

ABSTRACT

Let $(G r P, \mathsf D_G)$ be a Dirac groupoid. We show that there are natural Lie algebroid structures on the units $\lie A(\mathsf D_G)$ and on the core $I^ g(\mathsf D_G)$ of the multiplicative Dirac structure. In the Poisson case, the Lie algebroid $A^*G$ is isomorphic to $\lie A(\mathsf D_G)$ and in the case of a closed 2-form, the $IM$-2-form is equivalent to the core algebroid that we find. We construct a vector bundle $\lie B(\mathsf D_G) o P$ associated to any (almost) Dirac structure. In the Dirac case, $\lie B(\mathsf D_G)$ has the structure of a Courant algebroid that generalizes the Courant algebroid defined by the Lie bialgebroid of a Poisson groupoid. This Courant algebroid structure is induced in a natural way by the ambient Courant algebroid $TG\oplus T^*G$. The already known theorems about one-one correspondence between the homogeneous spaces of a Poisson Lie group (respectively Poisson groupoid, Dirac Lie group) and suitable Lagrangian subspaces of the Lie bialgebra or Lie bialgebroid are generalized to a classification of the Dirac homogeneous spaces of a Dirac groupoid. $\mathsf D_G$-homogeneous Dirac structures on $G/H$ are related to suitable Dirac structures in $\lie B(\mathsf D_G)$. In the case of almost Dirac structures, we find Lagrangian subspaces of $\lie B(D_G)$, that are invariant under an induced action of the bisections of $H$ on $\lie B(\mathsf D_G)$.

研究动机与目标

• 将泊松和辛齐次空间的分类推广至Dirac群胚。
• 通过Dirac结构的单位和核上的自然李代数胚结构，识别Dirac群胚的无穷小数据。
• 从Dirac群胚构造一个广义化泊松群胚的李双代数胚构造的Courant代数胚。
• 在Dirac齐次空间与无穷小Courant代数胚中不变的拉格朗日子空间之间建立一一对应关系。

提出的方法

• 将无穷小对象 $\mathfrak{A}(\mathsf{D}_G)$ 定义为Dirac群胚 $G{\rightrightarrows}P$ 的单位的李代数胚。
• 将核代数胚 $I^{\mathsf{t}}(\mathsf{D}_G)$ 构造为与乘法Dirac结构相关的李代数胚。
• 引入一个向量丛 $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G) \to P$，其在环境丛 $TG \oplus T^*G$ 的诱导下具有自然的Courant代数胚结构。
• 利用子群胚 $H$ 的双分部群作用于 $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$，定义拉格朗日子空间的不变性条件。
• 在 $\mathsf{D}_G$-齐次Dirac结构与 $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$ 中关于双分部作用诱导的不变拉格朗日子空间之间建立一一对应关系。
• 通过证明齐次空间的分类可归约为无穷小Courant代数胚中不变的拉格朗日子空间，推广泊松与Dirac几何时的定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用李代数胚与Courant代数胚来描述Dirac群胚的无穷小数据？
• RQ2 与Dirac群胚相关的Courant代数胚具有何种结构？它如何推广泊松群胚的李双代数胚？
• RQ3 Dirac群胚的齐次空间如何通过无穷小数据进行分类？
• RQ4 在齐次空间 $G/H$ 上，何种条件可确保Dirac结构为 $\mathsf{D}_G$-齐次？
• RQ5 子群胚 $H$ 的双分部作用在 $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$ 中的不变拉格朗日子空间表征中起何种作用？

主要发现

• Dirac群胚的单位 $\mathfrak{A}(\mathsf{D}_G)$ 与核 $I^{\mathsf{t}}(\mathsf{D}_G)$ 均携带自然的李代数胚结构。
• 在泊松情形下，$\mathfrak{A}(\mathsf{D}_G)$ 同构于对偶李代数胚 $A^*G$；在闭2-形式情形下，核对应于文献[3]中定义的IM-2-形式。
• 向量丛 $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$ 携带一个广义化李双代数胚所导出的Courant代数胚结构的Courant代数胚结构。
• Dirac齐次空间 $G/H$ 由 $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$ 中关于子群胚 $H$ 的双分部作用诱导的不变拉格朗日子空间分类，不变性条件确保与群胚作用的相容性。
• 对于几乎Dirac结构，分类涉及 $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$ 中关于双分部作用不变的拉格朗日子空间，从而推广了泊松情形。
• 在李群胚上，一个左不变的Dirac结构是闭的，当且仅当其在无穷小水平上的拉回是 $AG \oplus A^*G$ 的子代数胚。