[论文解读] Infinitesimal Weak Rigidity, Formation Control of Three Agents, and Extension to 3-dimensional Space

Seong‐Ho Kwon, Minh Hoang Trinh+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2018

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文提出了一种新型的弱刚性矩阵与无穷小弱刚性框架，适用于二维和三维多智能体系统，使无需将原始框架转换即可直接通过秩条件验证构型的唯一性。该文证明了三智能体梯度控制律在几乎所有初始位置下均能实现指数收敛至期望构型，并通过改进的Hen散伯构型将理论扩展至三维空间。

ABSTRACT

In this paper, we introduce new concepts of weak rigidity matrix and infinitesimal weak rigidity for planar frameworks. The weak rigidity matrix is used to directly check if a framework is infinitesimally weakly rigid while previous work can check a weak rigidity of a framework indirectly. An infinitesimal weak rigidity framework can be uniquely determined up to a translation and a rotation (and a scaling also when the framework does not include any edge) by its inter-neighbor distances and angles. We apply the new concepts to a three-agent formation control problem with a gradient control law, and prove instability of the control system at any incorrect equilibrium point and convergence to a desired target formation. Also, we propose a modified Henneberg construction, which is a technique to generate minimally rigid (or weakly rigid) graphs. Finally, we extend the concept of the weak rigidity in R^2 to the concept in R^3.

研究动机与目标

• 开发一种基于新型弱刚性矩阵的直接方法，用于检查多智能体构型中的弱刚性，避免先前工作中使用的间接变换方法。
• 利用梯度控制律分析二维空间中三智能体构型控制系统的稳定性与收敛性。
• 将弱刚性的概念从二维空间推广至三维空间，实现在混合距离与角度约束下唯一构型形状的确定。
• 提出一种改进的Hen散伯构型，通过引入基于角度的扩展，用于生成最小刚性（弱刚性）构型框架。
• 通过无穷小弱刚性理论，统一距离刚性、方位刚性与弱刚性，构建单一理论框架。

提出的方法

• 在 ℝ² 中，从混合距离与角度约束构建弱刚性矩阵，其矩阵的秩决定无穷小弱刚性。
• 将无穷小弱刚性定义为：弱刚性矩阵的零空间仅由刚体运动（平移、旋转，以及仅含角度约束的框架还包括缩放）张成。
• 在 ℝ² 的三智能体构型中应用梯度控制律，控制输入由基于智能体间距离与角度的势函数梯度导出。
• 通过计算平衡点处的雅可比矩阵分析系统稳定性，并证明所有错误平衡点至少存在一个正特征值，从而表明其不稳定性。
• 提出一种改进的Hen散伯构型，通过角度约束添加新智能体，以在 ℝ² 与 ℝ³ 中生成最小刚性（弱刚性）框架。
• 通过将原始框架转换为仅含距离约束的框架，并应用三维刚性理论，将弱刚性理论扩展至 ℝ³，以三维刚性矩阵的秩作为弱刚性的判据。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够直接从原始的混合距离-角度约束结构判断框架的弱刚性，而无需进行变换？
• RQ2 在何种条件下，采用梯度律的三智能体构型控制系统可从几乎所有初始构型收敛至期望目标构型？
• RQ3 如何在保持唯一构型形状确定的前提下，将弱刚性的概念从二维空间推广至三维空间？
• RQ4 在仅含角度约束的框架中，缩放在弱刚性矩阵的零空间中起何作用？
• RQ5 能否设计一种改进的Hen散伯构型，通过基于角度的顶点扩展生成最小刚性框架？

主要发现

• 弱刚性矩阵可通过直接检查矩阵的秩，实现对 ℝ² 中无穷小弱刚性的直接验证，无需将框架间接转换为仅含距离约束的形式。
• 对于 ℝ² 中的三智能体构型控制，系统被证明在几乎所有初始位置下均具有指数稳定性与收敛性，错误平衡点因雅可比矩阵中存在正特征值而呈现不稳定性。
• 在 ℝ² 中，无穷小弱刚性框架的弱刚性矩阵零空间仅由刚体运动（平移与旋转）张成；而仅含角度约束的框架则将缩放作为零空间的组成部分。
• 改进的Hen散伯构型可通过基于角度约束添加新智能体，实现最小刚性（弱刚性）框架的生成，从而促进可扩展的构型设计。
• 在 ℝ³ 中，若变换后的仅含距离约束的框架其刚性矩阵的秩为 3n−6，则该框架为弱刚性，且该条件对一般构型而言既是必要也是充分的。
• 在 ℝ³ 中，全局弱刚性成立当且仅当变换后的仅含距离约束的框架是全局刚性的，从而将局部弱刚性结果推广至全局情形。