[论文解读] Inflationary Cosmology, Diffeomorphism Group of the Line and Virasoro Coadjoint Orbits

James E. Lidsey|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Cosmology and Gravitation Theories被引用 13

一句话总结

本文建立了暴胀宇宙学与微分同胚群在直线上作用的余伴表示之间的动力等价性，将标量场的动能与时间重参数化的施瓦茨导数对应起来。暴胀解表现为 ${\rm Diff}^{+}(\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{R})$ 轨道上的点，其中维拉索罗余伴轨道结构提供了辛框架，其哈密顿生成元对应于标量场的动能，从而将宇宙学与共形场论及引力对偶性联系起来。

ABSTRACT

The cosmological field equations sourced by a self-interacting scalar field are dynamically equivalent to a closed system of equations obtained by applying the moment method to non-linear Schrödinger equations possessing an underlying non-relativistic conformal $SL(2,\mathbb{R})$ symmetry. We consider the one-dimensional, quintic Schrödinger equation relevant to strongly repulsive, dilute Bose gases. The action of the diffeomorphism group on the space of Schrödinger operators generates an harmonic trapping potential that can be identified with the kinetic energy of the cosmological scalar field. Inflationary cosmologies are represented by points on the orbit of the de Sitter solution, which is the quotient manifold ${ m Diff}(\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{R})$. Key roles are played by the Schwarzian derivative of the diffeomorphism and the Ermakov-Pinney equation. The underlying $SL(2,\mathbb{R})$ symmetry results in a first integral constraint which ensures energy-momentum conservation. When the analysis is restricted to the universal cover group of diffeomorphisms on the circle, the generation of a rolling scalar field can be understood in terms of the Virasoro coadjoint action. The corresponding symplectic two-form and Hamiltonian generator of the coadjoint orbit are determined by the scalar field kinetic energy.

研究动机与目标

• 建立暴胀宇宙学与微分同胚群 $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})$ 在施图克林格算子上作用之间的动力等价性。
• 表明宇宙学中标量场的动能对应于时间重参数化的施瓦茨导数。
• 证明暴胀解作为余伴轨道 $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{R})$ 上的点出现，其中德西特解为基点。
• 当限制在圆周上的微分同胚的万有覆盖时，将所得宇宙学动力学与维拉索罗余伴作用联系起来。
• 从标量场动能的角度解释轨道的辛结构与哈密顿生成元，从而与二维共形场论及引力对偶性建立联系。

提出的方法

• 分析应用了具有 $SL(2,\mathbb{R})$ 共形对称性的单变量五次非线性薛定谔方程的矩方法。
• 微分同胚群 $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})$ 作用于薛定谔算子，生成一个谐振势阱，其被识别为标量场动能。
• 微分同胚的施瓦茨导数被识别为标量场动能，作为余伴轨道的辛生成元。
• 系统的动力学由 Ermakov-Pinney 方程控制，该方程源于 $SL(2,\mathbb{R})$-不变矩方程。
• 当限制在 $\mathrm{Diff}^{+}(S^{1})$ 的万有覆盖时，该作用变为维拉索罗余伴作用，非平凡的中心荷允许滚动标量场解。
• 显式计算了轨道上的辛形式与哈密顿生成元，后者与 $\int d\tau (d\phi/d\tau)^2$ 成正比。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将暴胀宇宙学描述为微分同胚群 $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})$ 在施图克林格算子上作用的轨道？
• RQ2 施瓦茨导数在将微分同胚作用与宇宙学标量场动能联系起来的过程中起什么作用？
• RQ3 $SL(2,\mathbb{R})$ 对称性如何确保矩方程中的能量-动量守恒？
• RQ4 维拉索罗余伴轨道 $\mathcal{O}_{(0,c)}$ 在描述滚动标量场动力学中的意义是什么？
• RQ5 轨道的辛结构能否被解释为一个二维共形场论，其能量泛函为 $E = \int d\tau (d\phi/d\tau)^2$？

主要发现

• 暴胀宇宙学被表示为商流形 $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{R})$ 上的点，其中德西特解为基点。
• 标量场的动能被识别为微分同胚 $\beta$ 的施瓦茨导数 $S[\beta](\tau)$，其作为辛生成元。
• Ermakov-Pinney 方程控制波函数矩的动力学，确保在 $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})$ 作用下矩系统的闭合性。
• 维拉索罗余伴轨道 $\mathcal{O}_{(0,c)}$ 为滚动标量场提供了辛框架，其哈密顿生成元 $H_\epsilon \sim \int d\tau (d\phi/d\tau)^2$。
• 中心荷 $c$ 与牛顿常数的关系为 $c = 3/G$，且共形场论的能量泛函与标量场动能 $E = \int d\tau (d\phi/d\tau)^2$ 一致。
• 该构造暗示了暴胀宇宙学与低维引力之间存在形式上的联系，特别是通过 $\mathrm{BMS}_3/{\rm CFT}_2$ 对应关系以及 SYK 模型的施瓦茨导数作用。