[论文解读] Inflations of Geometric Grid Classes: Three Case Studies

Michael Albert, M. D. Atkinson+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出并应用一种方法，通过几何网格类的膨胀技术，枚举由两个长度为四的禁止模式定义的排列类。通过分析几何网格结构中的简单排列，并利用基于自动机的生成函数，作者为三个特定的2×4类推导出代数生成函数，其中包括对Av(4231, 3124)的闭式表达式，该表达式被证明是代数函数，其收敛半径约为0.2451，指数增长率为~4.0796。

ABSTRACT

We enumerate three specific permutation classes defined by two forbidden patterns of length four. The techniques involve inflations of geometric grid classes.

研究动机与目标

• 展示将膨胀技术应用于几何网格类以解决困难排列枚举问题的有效性。
• 为枚举2×4排列类（由两个长度为四的禁止模式定义）提供一个实用框架，绕过复杂的理论障碍。
• 将几何网格类理论的应用范围扩展到排列模式避免的实际枚举问题。
• 表明当简单排列位于几何网格类中且膨胀受和/偏序分解约束时，可以推导出代数生成函数。

提出的方法

• 作者使用四字母字母表上的有限自动机对几何网格类中的简单排列进行建模，通过正则语言规则编码结构约束。
• 通过构建捕捉禁止子串模式和区间结构的确定性有限自动机，推导出简单排列的多重生成函数。
• 该方法对简单排列应用膨胀，根据位置和结构区分和不可分解、偏序不可分解及一般膨胀。
• 对于简单排列中的每个条目，作者分配膨胀规则：a-和c-条目为任意Av(312)，b-和非首字母的d-条目为递减排列，首字母d-条目为任意Av(231,3124)。
• 通过组合和不可分解、偏序不可分解及膨胀的简单排列的分量生成函数，利用已知的卡塔兰数和斐波那契数的生成函数，构建完整类的生成函数。
• 最终生成函数通过求解关于f的线性方程得出，结合了各分量的生成函数与多重生成函数s(c,m,c,m)/m。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地应用几何网格类的膨胀技术来枚举具有两个长度为四的禁止模式的2×4排列类？
• RQ2 如何编码和利用几何网格类中简单排列的结构，以推导出完整排列类的生成函数？
• RQ3 对膨胀施加何种约束（例如和、偏序或任意）可导致此类类中的代数生成函数？
• RQ4 自动机与正则语言技术在多大程度上可用于建模几何网格类中的简单排列？
• RQ5 是否可以在此框架下推导出Av(4231, 3124)的闭式生成函数？

主要发现

• Av(4231, 3124)的生成函数是代数函数，且显式推导为包含平方根的有理函数：(1 - 8x + 20x² - 20x³ + 10x⁴ - 2x⁵ - (1 - 4x + 2x²)√(1 - 4x)) / (2(1 - 3x + x²)(-1 + 5x - 4x² + x³))。
• 计数Av(4231, 3124)的前14项为1, 2, 6, 22, 88, 363, 1508, 6255, 25842, 106327, 435965, 1782733, 7275351, 29648647，与OEIS序列A165535一致。
• 该生成函数的收敛半径约为0.2451，意味着序列的指数增长速率约为每单位根4.0796。
• 和不可分解排列的生成函数为f⊕ = (xc + x)f，其中f为Av(312)的生成函数，已知为平移后的卡塔兰数。
• 偏序不可分解排列的生成函数为f⊖ = (x - 2x² + x²)/(1 - 3x + x²) * c，其中c为卡塔兰数的生成函数。
• 该类中简单排列的多重生成函数为s(xa,xb,xc,xd) = (xb xcx d (xa + xc + xa xb + xa xc + xb xc + xc xd + xa xb xc + xb xc xd)) / (1 - xa xb - xb xc - xc xd - xa xb xc - xb xc xd)。