[论文解读] Influence of a spatial structure on the long time behavior of a competitive Lotka-Volterra type system

Hélène Leman, Sylvie Méléard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2014

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文研究了一个具有空间扩散和非局部竞争的非局部竞争性Lotka-Volterra系统，对按类型和空间结构化的种群进行建模。建立了稳态解的存在性，并证明长期行为在很大程度上取决于竞争速率和主特征值，表明根据参数阈值的不同，一种类型可能占据主导地位或发生共存。

ABSTRACT

To describe population dynamics, it is crucial to take into account jointly evolution mechanisms and spatial motion. However, the models which include these both aspects, are not still well-understood. Can we extend the existing results on type structured populations, to models of populations structured by type and space, considering diffusion and nonlocal competition between individuals? We study a nonlocal competitive Lotka-Volterra type system, describing a spatially structured population which can be either monomorphic or dimorphic. Considering spatial diffusion, intrinsic death and birth rates, together with death rates due to intraspecific and interspecific competition between the individuals, leading to some integral terms, we analyze the long time behavior of the solutions. We first prove existence of steady states and next determine the long time limits, depending on the competition rates and the principal eigenvalues of some operators, corresponding somehow to the strength of traits. Numerical computations illustrate that the introduction of a new mutant population can lead to the long time evolution of the spatial niche.

研究动机与目标

• 理解空间结构和非局部竞争如何影响结构化种群的长期种群动态。
• 将类型结构模型的结果扩展到同时具有表型和空间结构的系统。
• 分析具有扩散和积分竞争项的双类型（单型/二型）种群模型中稳态解的存在性和稳定性。
• 确定在何种条件下一种种群类型会随时间占据主导地位或发生共存。
• 通过系统长期行为研究突变体入侵对空间生态位进化的影响。

提出的方法

• 使用包含扩散（m₁, m₂）、依赖空间的生长率（a₁(x), a₂(x)）以及通过积分项（I_ij）表示的非局部竞争的两个耦合抛物型PDE系统来建模二型种群。
• 施加Neumann边界条件，以在区域边界∂X处模拟无通量的种群运动。
• 通过研究解的渐近极限，结合能量估计和相关线性算子的谱分析，分析长期行为。
• 应用Hartman-Grobman定理，通过在平衡点附近线性化系统来评估稳态的局部稳定性。
• 通过将初始条件限制在主特征函数的特征子空间上来使用子空间约化技术，将动力学简化为二维Lotka-Volterra系统。
• 利用L²和L∞收敛结果，在特定参数范围内建立解收敛到稳态解的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，单一类型种群在长期极限下会主导另一种？
• RQ2 竞争算子的主特征值如何影响稳态解的稳定性？
• RQ3 引入新突变体类型是否会导致长期的空间生态位进化？
• RQ4 什么决定了两种类型共存或其中一种被排除？
• RQ5 非局部竞争与空间扩散之间的相互作用如何影响系统的渐近行为？

主要发现

• 系统存在四个非负稳态解：(0,0)、(ḡ₁,0)、(0,ḡ₂) 和 (ḡ₁,ḡ₂)，其中 (ḡ₁,0) 和 (0,ḡ₂) 为单型稳态解。
• 当 H₁ > 0 且 H₂μ₁₁ − H₁μ₂₁ < 0 时，稳态 (ḡ₁,0) 是全局渐近稳定的，意味着当其内在增长率和竞争参数满足该不等式时，类型1占据主导地位。
• 当 H₁ > 0 且 H₂μ₁₁ − H₁μ₂₁ < 0 时，稳态 (0,ḡ₂) 是不稳定的，但部分解仍收敛至该解，表明其具有条件稳定性。
• 当 H₁μ₂₂ − H₂μ₁₂ = 0 且 H₂μ₁₁ − H₁μ₂₁ < 0 时，系统表现出对 (ḡ₁,0) 的收敛与对 (0,ḡ₂) 附近非收敛的混合行为，证实了后者的不稳定性。
• 当 ∫|g₂(t,x)|²dx → 0 且 ∫|g₁(t,x)|²dx 保持远离零时，解的长期极限为 (ḡ₁,0)，此现象在所述参数条件下发生。
• 数值模拟证实，突变体入侵可驱动空间生态位的长期进化，凸显了空间结构在进化动力学中的作用。