[论文解读] Information-Based Complexity vs Computational Complexity in Phaseless Polynomial Interpolation

Michał R. Przybyłek, Paweł Siedlecki|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2026

Polynomial and algebraic computation被引用 0

一句话总结

该论文刻画了无相位多项式插值的计算复杂度：固定 k 时，用 2n−k 点进行重构为多项式时间；而用 (1+c)n+2 点（0≤c<1）则是 NP 完全；论文还表明在少于 2n+1 点时，单次自适应查询就足以实现，且具有唯一解的评估点可以在多项式时间内被选择。

ABSTRACT

The authors of ``A note on the complexity of a phaseless polynomial interpolation'' have shown that phaseless polynomial interpolation over $\mathbf{Q}$ is possible with $n+2$ points, where $n$ is the upper-bound on the degree of a polynomial. Nonetheless, their reconstruction algorithm and the method of adaptively choosing evaluation points are exponential time. On the other hand, they have also shown that given $2n+1$ points, the polynomial can be reconstructed in a polynomial time. A conjecture have been put forward, namely that the reconstruction problem from such $n+2$ points is exponential time. Moreover, a question about the number of points sufficient for polynomial time reconstruction have been posed. In this paper, we answer these questions -- we show that (1) reconstruction problem from $2n-k$ for any constant $k$ is polynomial time, (2) reconstruction problem from $(1+c)n+2$ points for any constant $c \in [0, 1)$ is NP-Complete, (3) evaluation points admitting a unique solution can be chosen in polynomial time.

研究动机与目标

• 澄清在 Q 上的无相位多项式插值的信息论与计算复杂度之间的差距。
• 确定在哪个点的阈值处，能够实现多项式时间重构或 NP 难。
• 为固定的小缺陷（k）下的点数重构，开发多项式时间方法。
• 分析自适应查询策略在减少所需评估点数中的作用。

提出的方法

• 对满足给定 |p(x_i)| 约束的 ≤2n 次多项式的仿射空间进行参数化。
• 施加解必须是完全平方的代数条件，以获得 k+1 个变量的多项式系统。
• 用 Gröbner 基和对固定 k 的 LLL 规约求解得到的多项式系统。
• 通过从 Partition 的归约，证明对于 (1+c)n+2 点的 NP-完备性。
• 对于固定 k，解的数量是多项式有界的（O(n^k)），且都能在多项式时间内找到。
• 证明 2n−k 点可得到一个多项式时间重构算法。

Figure 2 : Intersections of $|p(x)|=|2x^{3}-21x^{2}+85x-126|$ and $|q(x)|=|9x^{2}-63x+114|$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Q 上，唯一重构（相位不计）所需的无相位评估点的最小数量是多少？
• RQ2 当点数低于 2n+1 时，能否在多项式时间内完成重构，特别是 m=2n−k 且 k 固定的情况？
• RQ3 对于任意常数 c ∈ [0,1)，用 (1+c)n+2 点进行重构是否为 NP 完全？
• RQ4 自适应选取评估点能否在保持可判定性的前提下降低所需测量数量？
• RQ5 信息基复杂性框架如何将信息基算子与计算模型联系起来，以解释无相位多项式插值中的复杂性？

主要发现

• 对于任意固定常数 k，用 m=2n−k 点进行重构可在多项式时间内解决。
• 对于任意常数 c∈[0,1) 的 (1+c)n+2 点重构是 NP 完全的，包括 n+2 点情形。
• 当 m=2n−k、且 k 固定时，解的数量仅多项式级别（O(n^k)），且可在多项式时间内全部找到。
• 自适应策略允许在少于 2n+1 点的情况下解决该问题，在某些条件下单次自适应查询即可。
• 通过参数化候选多项式的仿射空间，并通过 Gröbner 基与 LLL 规约强制完全平方约束来求解，实现多项式时间重构。
• 该问题在信息基Complexity 框架内建模，将基本信息算子与计算模型联系起来。

Figure 3 : Rational and all real roots for polynomials $a_{4},a_{5},a_{6}$ from Example 2 .