[论文解读] Information Causality is a Special Point in the Dual of the Gray-Wyner Region

Salman Beigi, Amin Gohari|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文研究了在任意输入分布（而不仅i.i.d.分布）下，信息因果性（IC）是否可作为Gray-Wyner区域对偶中的一个特殊点被推导出来。研究发现，尽管在i.i.d.情况下可通过Gray-Wyner区域推导出IC，但将该结论推广至一般分布仍存在未解问题，原因在于尽管初始具有前景，但量子理论中提出的互信息可访问性（AMI）公设不成立。

ABSTRACT

Information Causality contributes to the program of deriving fundamentals of quantum theory from information theoretic principles. It puts restrictions on the amount of information learned by a party (Bob) from the other party (Alice) in a one-way communication scenario: Bob receives an index b, and after a one-way communication from Alice, tries to recover the b-th bit of Alice's input. In this manuscript we note that Information Causality is indeed a point in the dual of the Gray-Wyner region in the case where Alice's input bits are chosen independently at random. The main motivation of this work was to study this connection in the case of correlated input bits. Our approach to forge this connection was to propose a new postulate called Accessibility of Mutual Information (AMI) on the underling physical theory. This approach, explained in the first version of this paper, fails since AMI is not satisfied by the quantum theory.

研究动机与目标

• 确定当爱丽丝的输入比特为任意分布（而不仅i.i.d.分布）时，信息因果性（IC）是否可作为Gray-Wyner区域对偶中的一个点被推导出来。
• 研究利用Gray-Wyner区域框架将经典IC不等式推广至一般输入分布的可行性。
• 评估所提出的公设——互信息可访问性（AMI）——在量子理论中是否成立，以及其能否作为此类推广的基础。
• 阐明在非i.i.d.输入分布背景下，IC与Gray-Wyner区域之间的关系。
• 解决当使用Gray-Wyner区域作为可行通信速率的表征时，IC不等式在任意输入分布下是否仍然有效。

提出的方法

• 将信息因果性游戏形式化为涉及爱丽丝和N个鲍勃的多方通信场景，其中每个鲍勃试图恢复爱丽丝输入中的特定比特。
• 将IC场景映射到Gray-Wyner信源编码问题，其中爱丽丝向每个鲍勃发送公共消息（速率 $ R_0 = H(x) $）和私有消息（速率 $ R_i = H(a_i | \beta_i, b=i) $）。
• 利用Slepian-Wolf定理将条件熵 $ H(a_i | \beta_i, b=i) $ 解释为鲍勃_i为恢复 $ a_i $ 所需的额外比特数，从而将其与Gray-Wyner区域联系起来。
• 通过Gray-Wyner设置中的割集界推导出IC不等式 $ H(x) + \bigsum_{i=1}^N H(a_i | \beta_i, b=i) \rgeq H(\bar{a}) $。
• 提出互信息可访问性（AMI）公设，以在假设底层物理理论中互信息可访问的前提下，将IC不等式推广至任意输入分布。
• 指出AMI公设在量子理论中不成立，从而使其作为推广基础的主张无效，尽管其在经典设定中逻辑上一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 当爱丽丝的输入分布为任意分布（而不仅i.i.d.分布）时，信息因果性不等式是否可作为Gray-Wyner区域对偶中的一个特殊点被推导出来？
• RQ2 对于任意输入分布，Gray-Wyner区域（其包含无限多条不等式）是否仍能约束通信速率 $ R_0 = H(x) $ 和 $ R_i = H(a_i | \beta_i, b=i) $？
• RQ3 互信息可访问性（AMI）公设在量子理论中是否成立，能否作为将IC推广至非i.i.d.输入的基础？
• RQ4 在一般物理理论中，Gray-Wyner问题中的割集界与信息因果性不等式之间存在何种关系？
• RQ5 为何基于AMI的初始证明策略在量子力学中失败，这对从信息论原理推导IC意味着什么？

主要发现

• 当爱丽丝的输入比特为i.i.d.时，信息因果性作为Gray-Wyner区域对偶中的一个特殊点成立，这是由于IC不等式与Gray-Wyner区域约束的等价性所致。
• IC不等式 $ H(x) + \bigsum_{i=1}^N H(a_i | \beta_i, b=i) \rgeq H(\bar{a}) $ 在任意输入分布下仍然有效，但本文未建立其通过Gray-Wyner区域的推导。
• 所提出的互信息可访问性（AMI）公设，旨在将IC推广至任意分布，但在量子理论中不成立，因此其作为基础原理的使用被证伪。
• 经典情况下通过割集界和Slepian-Wolf定理证明IC的方法成立，但将其推广至非i.i.d.输入仍为开放问题。
• IC与Gray-Wyner区域之间的联系在i.i.d.情况下稳健，但在一般分布下因AMI与量子力学不相容而失效。
• 尽管进行了大量尝试，本文结论仍为：通过Gray-Wyner对偶将IC推广至任意输入分布的问题尚未解决，该问题仍处于开放状态。